Springen naar inhoud

Gibbs adsorption isotherm (in lattice model)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

s.sally

    s.sally


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2012 - 15:46

Hoi,

Aangezien dit forum vorige keer mij goed heeft kunnen helpen (waarvoor dank!) ben ik hier opnieuw nu ik vast zit in een andere oefening.

Ik zal even de oefening kopieren om te beginnen:
The Gibbs adsorption isotherm shows that solutes are enriched at the surface of a liquid once the solvent-solute interaction is less favorable than the solvent-solvent interaction. The goal of the exercise is to use the lattice model to retrieve this qualitative interpretation of the Gibbs adsorption isotherm in the limit of strong dilution
  • Consider a lattice with Nb sites in the bulk and Ns sites at the surface. A molecule has zb nearest neighbors in the bulk and zs at the surface.
  • Denote the amount of A molecules in the bulk and at the surface NA,b and NA,s respectively and write the free energy of the entire system as the sum of a separate bulk and surface contribution.
  • Express physicochemical equilibrium by considering the interchange of a molecule B in the surface and a molecule A in the bulk. Take the limit xA,b -> 1 and xA,s -> 1 and demonstrate the relation: RTln((1-xA,b)/(1-xA,s))=(zb-zs)(wAA-wAB)
  • Interpret your results in view of the Gibbs adsorption isotherm
Na wat opzoekingswerk online en in Atkins' Physical Chemistry ben ik tot een volledige afleiding van de Gibbs adsorptie-isotherm kunnen komen, echter niet op basis van het lattice model.

Om dezelfde berekening op basis van het lattice model te maken dacht ik dat je moest starten met 'Express physicochemical equilibrium by considering the interchange of a molecule B in the surface and a molecule A in the bulk' wat volgens mij wil zeggen dat de chemische potentiaal van een molecule in de bulk en een molecule aan het oppervlak gelijk moet zijn (dit gebruikt men ook in de gewone afleiding).

De chemische potentiaal kan uitgedrukt worden aan de hand van het lattice model (de afleiding van de vrije energie F(NA,NB) naar NA) geeft mu(A)).

De vrije energie moet je dan voor dit geval opsplitsen in termen van de bulk en termen van het oppervlak. En dit moet ik dan vermoelijk afleiden naar NA,oppervlak?

Ik zie echter niet onmiddelijk in hoe dit kan resulteren in de relatie die ik uiteindelijk zou moeten uitkomen, dus volgens mij zit er ergens nog een foutje/tekort in mijn denkwijze...

Iemand enige ideëen?

En duid die wAA en wAB op de interne energie in de bindingen? Ik ben gewoon om dat als uAA en uAB te noteren, maar zou niet weten waar het anders op slaat?

(En hoe kan je hier vergelijkingen in typen?)

Veranderd door s.sally, 10 augustus 2012 - 15:48


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8937 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2012 - 09:49

Om met het laatste te beginnen: Vergelijkingen kun je typen met Tex-code. Een uitleg daarvan staat in dit topic.

Ik zou zeggen: Begin eens gewoon met de afleiding, en laat zien hoe ver je daarmee komt. Staar je niet meteen blind op het gewenste eindresultaat, maar zet eerst de stappen die (vrijwel natuurlijk) volgen uit hetgeen je opschrijft, en die in feite ook al in de opgave staan beschreven.

Dan zien we daarna wel hoe het verder moet.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#3

s.sally

    s.sally


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2012 - 21:22

Hoi,

Die Tex-code ziet er vrij ingewikkeld uit, zal ik mij eens op moeten toeleggen, maar voorlopig zal het nog zonder zijn..

Ik heb mij echt al suf gepiekerd op deze oefening maar ben nog geen stap verder.. :(

Voor de vrije energie van een mengsel heb ik:
F(NA,NB) = (zNA/2)uAA + (zNB/2)uBB + kB T XAB( NANB/N) - kB T ( N ln(N) - NA ln(NA) - NB ln(NB) )

Dan splits ik NA dus op in NA,s + NA,b en analoog voor NB.
N schrijf ik ook als NA,s + NA,b + NB,s + NB,b

Maar zoals je wel ziet kom je dan een uitdrukking uit voor F(NA,NB) die echt verschrikkelijk veel termen bestaat.

Dan moet voor de chemische potentiaal te berekenen deze uitdrukking nog afgeleid worden naar NA,s, maar vanwege het grote aantal termen en producten/logaritmen wordt dit echt een grote warboel en heb ik echt het gevoel dat dit niet kan kloppen...

Begin ik wel juist?

#4

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8937 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2012 - 21:54

Tex is niet zo heel moelijk hoor. Het vereist een klein beetje oefening, en in het begin is het handig om er een lijstje met de codes naast te houden.

Maar het kan ook prima zonder. Let je er dan wel op dat je waar mogelijk gebruikmaakt van sub- en superscript? Op dit moment is je vergelijking moeilijk leesbaar.


In de opgave staat een opmerking over "take the limit xA,b -> 1 ..."
(het gaat immers over verdunde omstandigheden)
Wat betekent dit voor de interacties die "B"-deeltjes hebben? En wat betekent dit voor de vergelijking die je krijgt?

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#5

s.sally

    s.sally


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2012 - 15:06

F(N A ,N B ) = (zN A /2)u AA + ( zN B / 2)uBB + kB T XAB( NANB/N) - kB T ( N ln(N) - NA ln(NA) - NB ln(NB) )
<=> F(NA,NB) = (zNA/2)uAA + (zNB/2)uBB + z (uAB - (uAA+uBB)/2) ( NANB/N) - kB T ( N ln(N) - NA ln(NA) - NB ln(NB) ) (1)

Het gaat inderdaad om een ideaal verdund mengsel, dus zowel XA,b -> 1 als XA,s -> 1

Wat betekent dit voor de interacties die "B"-deeltjes hebben? En wat betekent dit voor de vergelijking die je krijgt?


De B-deeltjes hebben vermoedelijk geen interactie met elkaar, dus UBB=0?
Ik probeer even verder te werken:

Dan wordt vgl (1):
F(NA,NB) = (zNA/2)uAA + z (uAB - UAA/2) ( NANB/N) - kB T ( N ln(N) - NA ln(NA) - NB ln(NB) )

Indien we stellen dat we met 1 mol deeltjes werken kunnen we dit nog herschrijven als:
F(NA,NB) = (zNA/2)uAA + z (uAB - UAA/2) (NANB/N) + RT ( xA ln(xA) + xB ln(xB) )

En aangezien xA->1 en dus xB->0:
F(NA,NB) = (zNA/2)uAA + z (uAB - UAA/2) (NANB/N)

Dan schrijf ik (NANB/N) als (xANB) dus wordt gewoon NB:
F(NA,NB) = (zNA/2)uAA + z (uAB - UAA/2)NB

Dit kunnen we herschrijven als (met NA=N-NB):
F(NA,NB) = (z/2) N uAA - (z/2) NB uAA+ z NB uAB - z/2 NB uAA
<=> F(NA,NB) = (z/2) N uAA - z NB uAA+ z NB uAB
<=> F(NA,NB) = (z/2) N uAA + z NB (uAB - uAA)

Chemische potentiaal van de opgeloste stof B = de afgeleide van F(NA,NB) naar NB
μ(B) = z (uAB - uAA)

z moeten we schrijven als zb + zs , dus de chemische potentiaal wordt: μ(B) = (zb + zs) (uAB - uAA)


Klopt dit al tot hiertoe?



Express physicochemical equilibrium by considering the interchange of a molecule B in the surface and a molecule A in the bulk.
μ(B) = RT ln(A)

Maar dan? De uitdrukking begint te lijken op wat ik moet uitkomen, met in de rechterterm als enige verschil dat ik (zb + zs) in plaats van (zb - zs) heb, en ik zie ook niet onmiddelijk hoe ik de linkerterm kan uitdrukken ifv (1-xA,b)/(1-xA,s)


Nog hints? ;)

Alvast bedankt voor de hulp!
Ik heb nog slechts een aantal dagen om dit op te lossen en hoop dat ik er ga geraken! :)

#6

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8937 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 augustus 2012 - 15:43

Volgens mij is dit niet helemaal de goede weg. In de uitdrukking voor de vrije energie staat geen afzonderlijk deel voor het oppervlak en de bulk. Je maakt gebruik van één z, en op het eind zeg je dat die z gelijk is aan zb+zs maar dat is natuurlijk niet juist. Beide z's staan voor het aantal buren per roosterplaats.
Je moet een afzonderlijke term voor de bulk hebben (waar zb in voorkomt) en een afzonderljke term voor het oppervlak.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#7

s.sally

    s.sally


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2012 - 16:15

OK, vandaag heb ik geen tijd meer maar morgen probeer ik dit nog eens opnieuw..

Dus ik splits gewoon alle:
- NA in NA,s+NA,b
- NB in NB,s+NB,b
- N in NA,s+NA,b+NB,s+NB,b

Verder kan ik nog steeds uBB=0 stellen
En xA,s->1, xA,b->1, xB,b->0 en xB,s->0

klopt dit?

#8

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8937 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 augustus 2012 - 16:21

Dat lijkt me prima. Ik weet zo niet of je N ook zou moeten splitsen in een Nb en Ns maar dat merken we snel genoeg.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#9

s.sally

    s.sally


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2012 - 16:02

Hoi Marko,

Ik heb je een prive-bericht gestuurd met nog enkele berekeningen.

Groetjes,

#10

Jonissimo

    Jonissimo


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2012 - 23:59

Dus ik splits gewoon alle:
- NA in NA,s+NA,b
- NB in NB,s+NB,b
- N in NA,s+NA,b+NB,s+NB,b

Verder kan ik nog steeds uBB=0 stellen
En xA,s->1, xA,b->1, xB,b->0 en xB,s->0

klopt dit?


Dag allen,

Ik heb me ook eens over deze oefening gebogen en ik bekom een uitdrukking voor de Helmholtz vrije energie (met opsplitsing in bulk en oppervlak):

F(NA,NB) = (zb/2) NA,b uAA - (zb/2) NB,b uAA + zb NB,b uAB + (zs/2) NA,s uAA - (zs/2) NB,s uAA + zs NB,s uAB

Ik had dezelfde redenering (als hierboven beschreven) en was ook uitgegaan van onderstaande uitdrukking:

F(NA,NB) = (z/2) N uAA + z NB (uAB - uAA)

Nu, als ik verder werk met de eerste vergelijking en deze afleidt naar zowel NA als naar NB, dan kom ik niet tot datgene wat ik zou moeten bekomen. Wat doe ik fout? Als iemand me hiermee verder kan helpen, dan zou dat fantastisch zijn!

#11

Pelson

    Pelson


  • >250 berichten
  • 318 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2012 - 08:57

Mag je wel stellen dat uBB=0? Er wordt immers niks gezegd over de onderlinge BB-krachten. Je kunt wel stellen dat het aantal B-B-interacties (NBB) gelijk is aan nul...

Gezien er in de opgave ook staat dat je de vrije energie als een aparte bulk en surface bijdrage mag zien kom ik tot nu toe voor de vrije energie de som uit van 2 vrije energieën, een voor het oppervlak en een voor de bulk...

En moet je, om de Gibbs-vergelijking uit te komen enkel afleiden naar NA,s en niet naar de hele Ns=NA,s+NB,s ? We willen uiteindelijk toch tot de oppervlaktespanning komen gezien we die Gibbs-vgl nodig hebben? Of niet?


ps: Gibbs adsorptievergelijking zijnde:

d(γ)/d[B] = -RTΓ/[B]
Met γ de oppervlaktespanning en Γ het oppervlakexcess.

#12

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8937 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 augustus 2012 - 12:30

F(NA,NB) = (zb/2) NA,b uAA - (zb/2) NB,b uAA + zb NB,b uAB + (zs/2) NA,s uAA - (zs/2) NB,s uAA + zs NB,s uAB


Hoe kom je aan (zb/2) NB,b uAA ?
Anders gezegd: Waarom zou er een relatie zijn tussen het aantal moleculen B en de interactie tussen moleculen A onderling? Want dat is wat je hier impliciet beweert.
Welke bijdrage aan de energie had je hiermee willen omschrijven?


Mag je wel stellen dat uBB=0? Er wordt immers niks gezegd over de onderlinge BB-krachten. Je kunt wel stellen dat het aantal B-B-interacties (NBB) gelijk is aan nul...


Je mag inderdaad niet zeggen dat uBB gelijk is aan 0. Maar je kunt uBB in eerste instantie meenemen in de afleiding, en later laten zien dat alle termen met uBB erin wegvallen (inderdaad omdat xB --> 0)

Verder zou ik de Gibbs-vergelijking nog even achterwege laten. Volg de stappen zoals ze in de opgave staan; met andere woorden: Schrijf een uitdrukking voor de vrije energie, laat zien wat er met de energie gebeurt als een molecuul A uit de bulk en een molecuul B op het oppervlak van plaats wisselen, leid vervolgens een uitdrukking af die de vrije energie minimaliseert.

Als allerlaatste moet je laten zien hoe deze uitdrukking zich verhoudt tot de vergelijking van Gibbs.


p.s. ik zou jullie willen aanraden om er eens met zijn tweeën naar te kijken. Jullie volgen dezelfde opleiding en volgens mij werkt het beter om op die manier samen te werken dan wanneer ieder voor zich het via een forum probeert op te lossen.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#13

Jonissimo

    Jonissimo


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 september 2012 - 22:29

Ok, de deadline voor deze oefening is zo goed als gepasseerd en ik ben uiteindelijk geen stap verder geraakt. Maar ik zou toch graag weten hoe je uiteindelijk tot de oplossing komt. Dus als het iemand gelukt is, laat het zeker eens weten!

Groet





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures