[wiskunde] Limiet van een functie in een bepaald punt

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 10-08-'12, 19:20

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Limiet van een functie in een bepaald punt

"beschouw de functie

f: R2 \ {0, 0} -> R: (x, y) |->
\( \frac {x^3 + y^3} {x^2 + y^2^} \)
.

Merk op dat (0, 0) een ophopingspunt is van R2 \ {0, 0}. Hoe toon je aan dat

Lim (x, y) -> (0, 0) f(x, y) = 0 ?

Normaal zou ik dit proberen door een willekeurige rij te kiezen die naar {0, 0} convergeert en dan te stellen dat de beeldrij ook naar het punt f(0, 0) convergeert; maar nu bestaat f(0, 0) niet. Hoe lossen we dit op ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 10-08-'12, 20:05

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Limiet van een functie in een bepaald punt

Hint, merk op dat:
\( \left| \frac {x^3 + y^3} {x^2 + y^2^} \right| \leq |x| \frac{x^2}{x^2 + y^2} + |y| \frac{y^2}{x^2 + y^2} \leq |x| + |y| \)
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 11-08-'12, 09:39

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Limiet van een functie in een bepaald punt

Meestal gaat men bij dit soort type's over op poolcoördinaten.

Maar ik weet niet of dat binnen de stof valt die je gehad hebt.
\(x = r\cos(\alpha)\quad , \quad y =r \sin(\alpha)\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 09:57

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Limiet van een functie in een bepaald punt

tempelier schreef: ↑za 11 aug 2012, 09:39
Meestal gaat men bij dit soort type's over op poolcoördinaten.

Maar ik weet niet of dat binnen de stof valt die je gehad hebt.
\(x = r\cos(\alpha)\quad , \quad y =r \sin(\alpha)\)
Neen, sorry dat valt niet binnen de stof van de cursus.

Toch bedankt.
dirkwb schreef: ↑vr 10 aug 2012, 20:05
Hint, merk op dat:
\( \left| \frac {x^3 + y^3} {x^2 + y^2^} \right| \leq |x| \frac{x^2}{x^2 + y^2} + |y| \frac{y^2}{x^2 + y^2} \leq |x| + |y| \)
Dan kan je zeggen dat Lim (x, y) -> (0, 0) |x| + |y| = 0

Voor elke willekeurige rij Xk die naar (0, 0) convergeert; convergeert immer de beeldrij f(Xk) ook naar 0.

En dus aangezien |x| + |y| voor alle rijen naar 0 convergeert en het gegeven kleiner is dan of gelijk aan |x| + |y| mogen we besluiten dat deze ook naar 0 convergeert ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 11:07

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet van een functie in een bepaald punt

Biesmansss schreef: ↑ma 13 aug 2012, 09:57
En dus aangezien |x| + |y| voor alle rijen naar 0 convergeert en de absolute waarde van het gegeven kleiner is dan of gelijk aan |x| + |y| mogen we besluiten dat deze ook naar 0 convergeert ?


Juist, want als |a| [kleinergelijk] b en b gaat naar 0, dan a ook.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 11:10

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Limiet van een functie in een bepaald punt

Ok, bedankt allemaal!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”