Springen naar inhoud

Bijectie N en R


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2012 - 20:21

Ik moet bewijzen dat er geen bijectie bestaat tussen LaTeX en LaTeX , gebruikmakend van het volgende feit:

Voor elke oneindige rij LaTeX van paren reële getallen
die voldoet aan: voor elke n in LaTeX , LaTeX , en voor elke n in LaTeX , LaTeX , bestaat er precies een reeël getal x zo dat voor elke n in LaTeX , LaTeX .

Hoe moet je dit aanpakken? Surjectiviteit gebruiken om LaTeX uit te putten en laten dat zien het bestaan van zo'n bijectie in tegenspraak is met het gegeven feit, omdat zo'n getal x niet kan bestaan? Of moet ik ook iets doen met injectiviteit?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 augustus 2012 - 21:42

Het is een iets moeilijker bewijs (moeilijker dan nodig denk ik ook), maar wel een klassieker. Bekijk je gegevens eens goed; wat zeggen deze je? Bijv: an is een stijgende rij en bn dalend.

Nog een hint: bekijk die paren als intervallen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2012 - 22:56

Wat je hebt is dus een getal x ingesloten wordt door steeds kleiner wordende intervallen. Het lijkt dat je wil laten zien dat x geen origineel in LaTeX kan hebben. Dus als je een rij hebt van 'alle' reële getallen zal x daar niet in voorkomen. Vanwege het gegeven feit geldt dat x altijd binnen een interval ligt dat je kan maken met elementen uit de rij reële getallen, dus x ligt zelf niet in de rij. Is het ongeveer zoiets?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:38

Het is inderdaad ongeveer zoiets dat je gaat willen doen... Beetje formeler: elke rij (xn)n laat ten minste één x uit R "weg". Kun je nu dit concreter uitwerken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 11:52

Stel er is een bijectie van N naar R. Dan bestaat er een rij (xn)nmet f(n)=x, zo dat elk reëel getal in de rij voorkomt. Omdat (xn)n alle reële getallen bevat kan je rijen (an)n en (bn)n die aan de gegeven eigenschappen voldoen. Het getal x zal niet in de rijen voorkomen, als x wel in een van de rijen zou voorkomen dan bestaat er een interval klein genoeg zodat x er niet in ligt, wat in tegenspraak is met de definitie van x. De enige andere mogelijkheid is dat x wel in (xn)n voorkomt maar niet in (an)n en (bn), maar dat zou betekenen dat x< a0 of dat x > b0, wat ook duidelijk in tegenspraak is met de definitie van x. Dus x komt niet voor in (xn)n, maar dat is in tegenspraak met de aanname dat (xn)n alle reële getallen bevat. Er kan dus geen bijectie zijn tussen N en R.

Veranderd door Tempus, 13 augustus 2012 - 11:52


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 15:28

Ik snap (nog) niet volledig je argumentatie... Mss biedt dit je wat hulp?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 23:05

Bij je link staat "There is currently no text in this page." Maar ik ben er inmiddels achter dat dit bekend staat als Cantors eerste overaftelbaarheidsbewijs en ik zie mijn uitwerking er in elk geval globaal in terug. De constructie van (an)n en (bn)n heb ik alleen niet daadwerkelijk uitgevoerd. Ik zal nog eens op internet kijken als er nog onduidelijkheden. Bedankt voor de hulp.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 augustus 2012 - 10:09

Hmm, bij die link loopt inderdaad wat fout. Nog een poging: http://www.proofwiki...r's_First_Proof

Bij onduidelijkheden laat je het maar weten. Je idee zit inderdaad wel goed.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures