Springen naar inhoud

Vraagstuk over vierkanten.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Gelukkoos

    Gelukkoos


  • >250 berichten
  • 443 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 09:24

Vraagstuk : Beschouwen men een land met vier rechte hoeken en vier zijden. Het is volledig omgeven door andere landen. Het is verdeeld in provincies die alle vierkantig zijn en alle even groot. Het aantal provincies dat grenzen aan een ander land "is gelijk" aan het aantal provincies dat niet grenzen en ingesloten zijn.
Hoeveel vierkantigge provincies zijn er, en hoe ziet het land er uit ? Er is maar één oplosing.

Veranderd door Gelukkoos, 13 augustus 2012 - 09:25

Vorm & Ruimte // Vormgeving & Ruimtecreatie // Eigen vormgeving & Eigen ruimtecreatie


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 09:42

Is dit een puzzel ...

#3

Gelukkoos

    Gelukkoos


  • >250 berichten
  • 443 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:01

Ja, met papieren vierkantjes kom je er.

Vorm & Ruimte // Vormgeving & Ruimtecreatie // Eigen vormgeving & Eigen ruimtecreatie


#4

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:19

Volgens mij is er meer dan 1 antwoord hoor... (of ik moet een gigafout hebben gemaakt). Volgens mij zijn er in ieder geval 2 antwoorden nl: een land van 12 bij 5 provincies en een land van 6 bij 8 provincies. (ik had geen zin om met papieren vierkantjes te kloten, is onhandig veel werk). Maar volgens mij kloppen ze wel.

#5

Gelukkoos

    Gelukkoos


  • >250 berichten
  • 443 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:36

Het is volledig juist. Incluus de foutmelding t.a.v. mij.

Veranderd door Gelukkoos, 13 augustus 2012 - 10:37

Vorm & Ruimte // Vormgeving & Ruimtecreatie // Eigen vormgeving & Eigen ruimtecreatie


#6

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:52

Jay! Wat heb ik gewonnen?

Even kort mijn uitwerking:

Totaal aantal provincies van het vierkant is H*W
Aantal provincies aan de randen (grenzen) is 2*H+2*(W-2)
Aantal provincies die niet aan de grenzen zitten is (H-2)*(W-2)

2*H+2*(W-2)=(H-2)*(W-2) (evenveel ingesloten provincies als provincies aan de grens)
W=8/(H-4)+4 (alles omschrijven naar W)

aangezien W en H gehele getallen moeten zijn moet 8/(H-4) ook een geheel getal zijn. (H-4) moet eveneens kleiner of gelijk zijn aan 8 (anders is het geen geheel getal meer!) en H moet natuurlijk groter zijn dan 0.

hierbij kom je uit op waarden van H=6 H=8 en H=12, de bijbehorende waarden van W zijn W=8 W=6 en W=5; Aangezien er niet echt onderscheid gemaakt hoeft te worden tussen de breedte en hoogte (aangezien je gewoon je vierhoek kan kantelen) kom je op de antwoorden 6 bij 8 en 12 bij 5 uit.

Zo lastig was dat toch weer niet? (er zijn overigens vast betere/snellere manieren om dit probleem op te lossen).

#7

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 11:51

[mod]verplaatst naar café[/mod]

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#8

Gelukkoos

    Gelukkoos


  • >250 berichten
  • 443 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2012 - 09:41

Ik heb dezelfde vraag reeds toegepast met een kubus met zijde y .
En dus met vraag welke eenheid y heeft als een kubus uit y3 kubussen bestaat, en die aan de rand gelijk zijn aan die ingesloten zijn en niet grenzen.
Het lukte me niet om er een geheel getal uit te krijgen, en ik dus kan aannemen dat het niet gaat.

Met een balk die bestaat uit kleinere kubussen gaat het mischien wel. Maar een vergelijking met drie variabelen gaat mij petje (wiskundig) te boven.

Veranderd door Gelukkoos, 16 augustus 2012 - 09:42

Vorm & Ruimte // Vormgeving & Ruimtecreatie // Eigen vormgeving & Eigen ruimtecreatie


#9

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2012 - 10:12

Om op basis van een paar mislukte pogingen te concluderen dat het niet gaat is wat kort door de bocht, maar het kan inderdaad niet.

De aantallen zouden moeten voldoen aan de vergeljking

A3 + B3 = C3

Met A, B en C gehele getallen.

De laatste stelling van Fermat luidt dat een dergelijke vergelijking (wanneer de machten groter zijn dan 2) geen oplossingen heeft . Deze stelling is niet al te lang geleden (voor wiskundige begrippen althans) bewezen. Voor specifieke gevallen, bijvoorbeeld het geval dat je hier beschrijft met A, B en C tot de derde macht, was het al langer bewezen.

Zie bijvoorbeeld hier.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#10

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2012 - 08:40

De stelling van Fermat toepassen op een vraagstuk over kubussen is natuurlijk wel een beetje een kanon op een mug ;) Als y een oplossing is van het gegeven vraagstuk, dan is LaTeX . Dat er geen geheeltallige oplossingen zijn zou je kunnen bewijzen door te laten zien dat 0 tot en met 10 niet werken, en voor LaTeX het rechterlid groter is dan het linkerlid. Dat laatste is te bewijzen door te zien dat voor LaTeX geldt dat
LaTeX en dus
LaTeX .

Veranderd door Erik Leppen, 17 augustus 2012 - 08:41


#11

Gelukkoos

    Gelukkoos


  • >250 berichten
  • 443 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2012 - 13:50

Er is misschien wel een kans om een balk te creëren opgebouwd uit evengrote kubussen,
en waarvan het binnenste aantal gelijk is aan het buitenste aantal.
Alhoewel ik de berekening niet kan afmaken, zet ik hier wel het begin neer.
Beschouwen men een balk met lenkte L, hoogte H, en diepte D.
Het bevat dus L x H x D kubussen. En L, D, H, zijn gehele getallen.

Het aantal buitenste kubussen = 2LH + 2LD + 2DH

Het aantal binnenste kubussen = (L-2) x (H-2) x (D-2)
= (LH - 2L - 2H + 4) x ( D - 2)
= LHD - 2LD - 2HD + 4D - 2LH + 4L + 4H - 8

Deze twee dus gelijk stellen:
2LH + 2LD + 2DH = LHD - 2LD - 2HD + 4D - 2LH + 4L + 4H - 8
Of :
4LH + 4LD + 4DH - 4D - 4L - 4H -LHD + 8 = 0
Eventueel verder :
{ 4L ( H + D - 1 ) } + { D ( 4H - LH - 4) } + 8 - 4H = 0

Hoe uit L, H, en D gehele getallen zouden worden weet ik effe niet meer .

Vorm & Ruimte // Vormgeving & Ruimtecreatie // Eigen vormgeving & Eigen ruimtecreatie


#12

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2012 - 18:16

Het aantal buitenste kubussen = 2LH + 2LD + 2DH

Niet juist. Jij telt de kubussen op de "ribben" twee keer en die op de hoekpunten drie keer.

Het aantal kubusjes dat aan de rand ligt is L*D*H - (L - 2)*(D - 2)*(H - 2).

Volgens mij, als je één van deze drie variabelen vastzet, krijg je een vergelijking in de twee overige, die volgens mij oplosbaar is.

Hoe dan ook heb ik dit vraagstuk een keer zien langskomen op een middelbare school, dus het is op te lossen met schoolwiskunde.

#13

Gelukkoos

    Gelukkoos


  • >250 berichten
  • 443 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2012 - 11:02

Nu moet het juist zijn. Zoals bovenstaande gebruiker vermeld heb ik één variabele vastgezet.
Namelijk D=6.
De totale inhoud = twee maal de binneninhoud.
LHD = 2 (L-2) (H-2) (D-2)
6LH = 2(L-2) (H-2) 4
6LH = (2L-4) (4H-8)
6LH = 8LH - 16L - 16H + 32
-2LH = -16L -16H + 32 (delen door -16)
LH/8 = L + H - 2
L of H moet een veelvoud zijn van 8 omdat de breuk een geheel getal moet zijn.
Je begint L gelijk te stellen aan 8 , en dan 16, 24 enz.
Dit zijn de resultaten die uitkomen :
L=16 ---> H=14 ( D=6 )
L=32 ---> H=10 ( D=6 )
L=56 ---> H=9 ( D=6 )

Vorm & Ruimte // Vormgeving & Ruimtecreatie // Eigen vormgeving & Eigen ruimtecreatie


#14

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2012 - 20:28

Correctie op eerder bericht van mij:

Hoe dan ook heb ik dit vraagstuk een keer zien langskomen op een middelbare school, dus het is op te lossen met schoolwiskunde.

Dit was een ander vraagstuk.
Hoe dan ook is de vergelijking symmetrisch in L, H en D. Dus als (L, H, D) een oplossing is, zijn (L, D, H) en alle andere permutaties dat ook.
Verder is de vergelijking uit te schrijven als LHD = 2 (L-2) (H-2) (D-2) = 2LHD - 4LH - 4LD - 4DH + 8D + 8L + 8H - 16. Hier kun je beide kanten LDH afhalen:
LHD - 4LH - 4LD - 4DH + 8D + 8L + 8H - 16 = 0.
We kunnen veilig stellen dat D, L en H alle minimaal drie zijn, anders zijn er geen binnenste kubusjes. Dus 8D + 8L + 8H - 16 > 0.
Dus moet voor het andere stuk gelden: LHD - 4LH - 4LD - 4DH < 0.
Delen door LHD geeft: 1 - 4/D - 4/H - 4/L < 0.
Dus 4/D + 4/H + 4/L > 1. Dus 1/D + 1/H + 1/L > 1/4. Dit geeft een afschatting van D, H en L. Misschien kunnen we deze afschatting in combinatie met D, H en L >= 3 scherper maken en dan is het hopen dat er maar eindig veel punten voldoen, en dan kunnen we die met een computer allemaal nagaan.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures