4.sin(x.(y + z)) - yz een eerste orde benadering heeft rond het punt (0, 1, 2) en bereken ze. Geef ook de totale afgeleide in (0, 1, 2).
Stelling 5.4.2
Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R (gedefinieerd op een open deel A ⊆ Rn) en een a ∈ A. Veronderstel dat er een open deel Ao ⊆ A bestaat zodat a ∈ Ao en zo dat f partieel afleidbaar is in alle punten van Ao. Veronderstel bovendien dat de functies Dif: Ao -> R continu zijn in a voor alle i ∈ {1, ..., n}. Definieer de functie
g: Rn -> R: x |-> g(x) = f(a) +
\( \sum^n_{i = 1} \)
Dif(a) (xi - ai).Dan zal
Lim x -> a
\( \frac {|f(x) - g(x)|} {|| x - a||} = 0 \)
"Hoe los ik dit op ?
Ik denk dus dat ik eerst de voorwaarde van de stelling moet 'checken', dit betreft voornamelijk: "Veronderstel bovendien dat de functies Dif: Ao -> R continu zijn in a voor alle i ∈ {1, ..., n}."
Hiervoor heb ik eerst de partieel afgeleiden berekend:
D1f(x, y, z) = 4.cos(x.(y + z)) . (y + z)
D2f(x, y, z) = 4.cos(x.(y + z)) . x - z
D3f(x, y, z) = 4.cos(x.(y + z)) . x - y
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D1f(x, 1, 2) = 12.cos(3x)
D2f(0, y, 2) = -2
D3f(0, 1, z) = -1
Dat D2f en D3f continue zijn is triviaal, maar hoe bewijs ik dat D1f continu is ? D.m.v. de rekenregels van limieten en de kettingregel ? ?
