Binomiaal en Poisson verdeelde toevalsveranderlijken

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 22-08-'12, 22:13

Uomo Universale

Berichten: 411

Binomiaal en Poisson verdeelde toevalsveranderlijken

06-07 1ste zit vraag 1.jpg
06-07 1ste zit vraag 1.jpg (168.67 KiB) 365 keer bekeken
(i) X is logischerwijs een discrete toevalsveranderlijke. Volgens mij is deze Poisson verdeeld met
\(\lambda\)
= 3 als er geen virus is en
\(\lambda\)
= 6 als er wel een virus is.

(ii) Volgens mij is Y binomiaal verdeeld: ofwel is er op een bepaalde dag een virus, ofwel niet.

(iii) Hier kom ik in de problemen. In de verdeling van zit zou een combinatie van X en Y moeten zitten, maar ik weet niet meteen hoe deze te vinden/op te schrijven.

Als Y = 0 (geen virussen), dan lijkt me dat Z gewoon ook Poisson verdeeld is met
\(\lambda\)
= 3*3 = 9. Maar vanaf dat Y = 1 weet ik niet hoe het op te schrijven.. Iemand die me hier een duwtje in de rug kan geven?

(iv) Als vraag (iii) gevonden is, kan dit volgens mij gemakkelijk worden opgelost via de regel van Bayes.
Omhoog

Bericht 23-08-'12, 09:53

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Binomiaal en Poisson verdeelde toevalsveranderlijken

Stel je hebt twee poissonprocessen A en B met respectievelijk
\(\lambda_A\)
en
\(\lambda_B\)
. Z = A+B, dan:
\(P(Z=z) = \sum_{k=0}^z P(A=k) \cdot P(B=z-k) = \sum_{k=0}^z \frac{\lambda_A^k}{k!} e^{-\lambda_A} \frac{\lambda_B^{(z-k)}}{(z-k)!} e^{-\lambda_B}\)
\(= e^{-\lambda_A} e^{-\lambda_B} \sum_{k=0}^z \frac{\lambda_A^k}{k!} \frac{\lambda_B^{(z-k)}}{(z-k)!} = e^{-(\lambda_A+\lambda_B)} \frac{1}{z!} \sum_{k=0}^z \frac{z!}{k! (z-k)!} \lambda_A^k \lambda_B^{(z-k)}\)
\(= e^{-(\lambda_A+\lambda_B)} \frac{1}{z!} \sum_{k=0}^z {z \choose k} \lambda_A^k \lambda_B^{(z-k)} = e^{-(\lambda_A+\lambda_B)} \frac{1}{z!} (\lambda_A + \lambda_B)^z\)
\(= \frac{(\lambda_A + \lambda_B)^z}{z!} e^{-(\lambda_A+\lambda_B)}\)
Ofwel de sommatie van twee poissonprocessen is wederom een poissonproces. Hiermee zou het moeten lukken.
Omhoog

Bericht 23-08-'12, 10:52

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Binomiaal en Poisson verdeelde toevalsveranderlijken

Dat helpt me inderdaad heel wat verder:

(iii) Als Y = 0 => Z = Poisson verdeeld met
\(\lambda = 3*3 = 9\)
Als Y = 1 => Z = Poisson verdeeld met
\(\lambda = 2*3 + 1*6 = 12\)
Als Y = 2 => Z = Poisson verdeeld met
\(\lambda = 3 + 2*6 = 15\)
Als Y = 3 => Z = Poisson verdeeld met
\(\lambda = 3*6 = 18\)
(iv) De gevraagde kans is: P(Y = 1 | Z = 12). Dit kan ik berekenen via de regel van Bayes en de regel van de totale probabiliteit:
\(P(Y = 1 | Z = 12) = \frac{P(Z=12 | Y=1) P(Y=1)}{P(Z=12)}\)
\(P(Y = 1 | Z = 12) = \frac{P(Z=12 | Y=1) P(Y=1)}{P(Z=12|Y=0)P(Y=0) + P(Z=12 | Y=1) P(Y=1) + P(Z=12|Y=2)P(Y=2) + P(z=12|Y=3)P(Y=3)}\)
\(P(Y = 1 | Z = 12) = \frac{e^{-12}\frac{12^1^2}{12!} \frac{3!}{1!2!}(\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^2}{e^{-9}\frac{9^1^2}{12!} \frac{3!}{0!3!}(\frac{1}{5})^0 (\frac{4}{5})^3 + e^{-12}\frac{12^1^2}{12!} \frac{3!}{1!2!}(\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^2 + e^{-15}\frac{15^1^2}{12!} \frac{3!}{2!1!}(\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^1 + e^{-18}\frac{18^1^2}{12!} \frac{3!}{3!0!}(\frac{1}{5})^3 (\frac{4}{5})^0}\)
Voor deze berekening is elke term gegeven of te berekenen, dus kan ik zo tot m'n antwoord komen. Correct?
Omhoog

Bericht 23-08-'12, 11:17

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Binomiaal en Poisson verdeelde toevalsveranderlijken

Lijkt mij goed...
Omhoog

Bericht 23-08-'12, 12:27

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Binomiaal en Poisson verdeelde toevalsveranderlijken

Bedankt EvilBro!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Kansrekening en Statistiek”