Springen naar inhoud

Oef. i.v.m. deelverzamelingen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 08:57

De vraag is de volgende:

Zijn volgende deelverzamelingen lineair onafhankelijk ?

a) {x, sin x, x |-> sin 2x, x |-> sin2x}
b) {x |-> cos 2x, x |-> cos2x, x|-> sin2x}

We kennen volgende propositie:

"Zij (R, V, +) een vectorruimte en D ⊆ V. Dan is D een vrij deel als en slechts als de enige lineaire combinaties van verschillende vectoren uit D die de nulvector opleveren, die lineaire combinaties zijn waarbij alle coëficiënten nul zijn. In symbolen uitgedrukt:

∀k ∈ No, ∀v1, ..., vk ∈ D met vi ≠ vj als i ≠ j, ∀ A1, ..., Ak ∈ R:

LaTeX Ai.vi = 0 => A1 = A2 = ... = Ak = 0".

Voor (a) bv. kan men toch zeggen:

Dit moet gelden voor alle x ∈ R, dus ook voor x = 0.
Wanneer x = 0 dan is:

sin x = 0
sin 2x = 0
sin2x = 0

Dus:

A.sinx + B.sin 2x + C.sin2x = A.0 + B.0 + C. 0 = 0 (∀ A, B, C ∈ R)

Dus dan is deze verzameling lineair afhankelijk; maar dit blijkt niet correct te zijn.
Iemand die mij hier wat meer uitleg over kan geven ?

Veranderd door Biesmansss, 27 augustus 2012 - 08:58

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 10:03

Het moet gelden voor alle x dus ook als x is geen 0.


Je draait de boel dus om.

Uit: A.sinx + B.sin 2x + C.sin2x=0 voor alle x volgt juist: A=B=C=0
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 10:09

De vectoren hebben de volgende opbouw:
LaTeX
Ik bekijk even 2 verschillende vectoren. Je moet dan kijken naar het volgende:
LaTeX
Dit is een stelsel van 3 vergelijkingen. De vraag is nu of er een x, een y, een a en een b bestaan zodat deze waardes een oplossing zijn van het stelsel en bovendien dat a en b ongelijk zijn aan nul (Let wel! het moeten twee verschillende vectoren zijn!).

LaTeX
LaTeX
LaTeX
hieruit volgt dat een van de volgende zaken moet gelden:
LaTeX
Stel dat de eerste term klopt. Dan zou ook moeten gelden dat LaTeX . Dit leidt echter twee keer tot de vector (0,0,0). Dit zijn dus niet twee verschillende vectoren en daarmee is deze keuze dus niet geschikt. De tweede term zal dus moeten gelden:
LaTeX
Hieruit volgt dat a=-b. De eerste vergelijking wordt daarmee:
LaTeX
LaTeX
Als dit echter geldt dan heb je twee keer dezelfde vector. Het is dus niet mogelijk om met een lineaire combinatie van twee vectoren een oplossing te vinden voor het stelsel.

Jij moet bewijzen dat het ook niet kan met een willekeurig aantal vectoren.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 13:43

Mijn post hierboven is denk ik niet correct. Ik kan namelijk wel een combinatie van 3 vectoren vinden die de nulvector opleveren.

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 13:53

Mijn post hierboven is denk ik niet correct. Ik kan namelijk wel een combinatie van 3 vectoren vinden die de nulvector opleveren.


Dan doe ik kennelijk ook iets verkeerd want ik vond uit de combinaties van de twee substituties:

LaTeX

A=C=0
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 14:05

Dat is apart. Ik zou namelijk denken:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dit moet gelden voor alle waarden van x, dus:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Hieruit volgt dat A=C=0, dus:
LaTeX
Dit moet wederom gelden voor alle waarden van x.

Ik denk dus dat jouw methode wel werkt. :P

#7

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 14:20

Ik zie niet goed wat er met jou methode fout is.
Ik dacht dat het via differentiëren je op het zelfde uitkomt.

Laat: LaTeX (f continue)

Als: LaTeX dan moet ook :LaTeX

enz.

Veranderd door tempelier, 27 augustus 2012 - 14:21

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2012 - 15:30

Het moet gelden voor alle x dus ook als x is geen 0.


Je draait de boel dus om.

Uit: A.sinx + B.sin 2x + C.sin2x=0 voor alle x volgt juist: A=B=C=0


Ok, tot zo ver ben ik mee.
Maar hoe zit het dan voor opgave b. ?
Ik kan dit toch maar moeilijk voor alle x gaan controleren ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 augustus 2012 - 15:35

Hint: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x). Lijkt me een vrij dikke hint ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2012 - 19:22

Ja, dit wil zeggen dat je voor alle x nul kunt krijgen; dus m.a.w. dat dit geen vrij deel is. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 augustus 2012 - 20:33

Inderdaad :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 september 2012 - 14:05

Bedankt allemaal!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures