Springen naar inhoud

Differentievergelijking opgave


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2012 - 11:37

Hallo,

ik zit vast bij een examenvraag uit een van de vorige examens.

De opgave luidt als volgt:

Bepaal de tweede orde lineaire differentievergelijkingen met constante coëfficiënten en algemeen rechterlid die zowel (a) als (b) als particuliere oplossing hebben. Bepaal ook de algemene oplossing.
LaTeX
LaTeX

Ik heb werkelijk geen idee hoe ik hier aan moet beginnen. Kan iemand me helpen?

Veranderd door Drieske, 29 augustus 2012 - 12:24
vergelijking in LaTeX gezet


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2012 - 23:20

Ik geraak hier maar voor een klein stukje uit, maar misschien helpt het je wel wat?

f(k) kan je herschrijven naar

LaTeX

dat doet mij denken aan

LaTeX

met A=1/2 en B=1
en met LaTeX de dubbele wortel van de karakteristieke veelterm die met de diff.vgl overeenkomt, nl:

LaTeX

wat dan weer overeenkomt met de diff.vgl

LaTeX

wat perfect overeenkomt met de reeks getallen die f(k) geeft bij k = 0 , 1 , 2 , 3 , ...

LaTeX

waar elk getal gelijk is aan het voorgaande min een kwart van het getal daarvoor...



Voor g(k) lukt dit mij niet direct, ik zit wat in de knoei met dat minteken? (klopt de opgave wel?)
Verder komt de oplossing hierboven ook niet overeen met de waarden die g(k) genereert...?
En beiden ( zowel f(k) als g(k) ) zijn toch particuliere oplossingen van 1 differentievgl...
Zoals gezegd, ik kom er maar voor een stukje uit, maar misschien helpt het wat?

Veranderd door Westy, 30 augustus 2012 - 23:33

---WAF!---

#3

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 september 2012 - 11:13

Tot hier kom ik zelf:

Ik voeg de 2 vergelijking samen en ik stel er de gedaantes van op:

(1/2)k (Ak+>B) + C(-1/4)k + (1/2)k (Dk+E)

Coefficienten zijn dan A = B = C = D = E = 1, hiervoor moeten we een (willekeurige) vergelijking opstellen waarvoor geldt dan 1 geen enkelvoudige of dubbele wortel is: y" + 2y'+y

Nu zouden we de particuliere oplossingen hier in moeten substitueren denk ik, maar ik zou niet weten hoe juist...

#4

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 september 2012 - 14:11

Ik voeg de 2 vergelijking samen en ik stel er de gedaantes van op:
(1/2)k (Ak+>B) + C(-1/4)k + (1/2)k (Dk+E)


Sorry, maar ik begrijp even niet wat je bedoelt. Kan je even verduidelijken van waar jouw formule komt? Als je 2 vergelijkingen samenvoegt dan je toch een nieuwe vergelijking (linkerlid 1 + linkerlid 2 = rechterlid 1 + rechterlid 2). Wat is jouw vergelijking dan?
En waarom stel je die coefficienten allemaal = 1?
---WAF!---

#5

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 september 2012 - 14:59

Nog een poging, vergeet wat ik zei.

Ik tel de particuliere oplossingen op en werk ze uit tot volgende vorm: (1/2)k(4k + 0.5) + (-1/4)k
=> gedaante daarvan is yp = (1/2)k(Ak+B) + C (-1/4)k

De coefficienten zijn dus: A = 4, B=0,5 en C = -1/4

Ik reken nu yp(k+1) en yp(k+2) uit door substitutie in yp.

We kiezen nu zelf een vergelijking waarvan de beide wortels niet gelijk zijn aan 4, 0.5 en -1/4.
bv: yk+2 + 2yk+1 + yk

We vullen yp(k+1), yp(k+2) en yp(k) in in de gekozen vergelijking en nemen termen samen.

Dit levert: 0.5kk(9/4A) + 0.5k(3/2A + 9/4B) + (-1/4)k(9/16C) = RL

Nu vullen we de coefficienten hierin en we bekomen het rechterlid.

dat stellen we dan gelijk aan onze gekozen vergelijking.

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 september 2012 - 17:12

Ik kan je werkwijze niet helemaal volgen, kan dus ook niet zeggen of ze volledig goed is, maar kan je wel een goede en volledige -althans zo lijkt het mij- oplossing te geven, die voor een groot gedeelte overeenkomt met jouw werkwijze:

Je begin is goed, als je f(k) en g(k) samentelt dan krijg je een nieuwe particuliere oplossing van de gezochte dv. Dit geeft, na rangschikking:

LaTeX

Nu is elke oplossing van een niet-homogene dv de som van de opl. van de geassocieerde homogene dv en 1 willekeurige oplossing van de gegeven dv.

De homogene oplossing is hier inderdaad van de vorm
LaTeX
met A=1/2 en B=4 voor speciefieke beginwaarden van y(0) en y(1)
(Deze zijn hier, na uitrekening:voor k=0: y(0)=1/2 en voor k=1: y(1)=9/4 )
De vorm van de oplossing geeft aan dat het hier om karakt;vgl met een dubbele wortel, nl 1/2; de karakt.vgl. is dus:
LaTeX of LaTeX
wat overeenkomt met de dv:
LaTeX

De willekeurige particuliere oplossing is hier dus LaTeX ,
wat aangeeft dat de gevraagde dv een inhomgeen gedeelte van de vorm LaTeX moet hebben, met C onbekende constante, te berekenen als volgt:
Bereken y_p(k-1) en y_p(k-2) (dus hier met constante=1) en vul die in de dv die we hebben gezocht, nl:
LaTeX
Na uitwerking geeft dit C=9

DUS
de gevraagde dv is
LaTeX
en de algemene oplossing hiervan is
LaTeX
met A en B constantes die afhangen van de beginwaarden van y(0) en y(1).

Ik heb een en ander nagerekend en denk dat het zo zou moeten kloppen...
---WAF!---

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 september 2012 - 13:44

Er is een tweede-orde lineaire differentievergelijking met constante coefficienten zodat geldt:
LaTeX
LaTeX
Trek deze twee van elkaar af:
LaTeX
Definieer nu h(k) = f(k) - g(k):
LaTeX
Deze h kun je gewoon bepalen (want f en g zijn gegeven) en invullen. Je krijgt dan een vergelijking met een deel dat afhankelijk is van k en een deel wat onafhankelijk is van k. Omdat de vergelijking voor alle k nul moet zijn, moet beide gedeeltes constant zijn. Je kan beredeneren dat de constante gelijk moet zijn aan nul. De twee gedeeltes vormen twee vergelijkingen met twee onbekenden (A en B). Je kunt dit stelsel oplossen voor A en B.
Je hebt nu de vorm van de vergelijking gevonden. Als je f of g invult dan krijg je het rechterdeel.
De algemene vergelijking heb je al gevonden. Dat is immers h.

#8

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 september 2012 - 23:11

@Evilbro

Deze h kun je gewoon bepalen (want f en g zijn gegeven) en invullen.


Tot hier volg ik, ik krijg nl, na vereenvoudiging.:

LaTeX

(De termen met k als factor heffen elkaar mooi op).
Maar wat je daarna schrijft volg ik niet meer.
Graag wat meer uitleg?
---WAF!---

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 september 2012 - 07:01

Ik heb de breuken even binnen de machten gehaald:
LaTeX
dan:
LaTeX
LaTeX
Beide kanten de gemeenschappelijke term wegdelen:
LaTeX
Links is een constante term. Rechts moet dus ook constant zijn. Dit kan alleen als het volgende geldt:
LaTeX

#10

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 september 2012 - 22:32

Ok, ik volg wat je doet. Stelsel oplossen en invullen geeft -als ik je goed begrijp-
LaTeX
Maar hierin mis ik wel ergens een k in één van de termen. Daarenboven is er geen niet-homogene term meer, want je stelde toch h(k) = f(k) - g(k) , en daardoor viel de niet-homogene term weg in h, toch? En je hebt toch een niet-homgeen gedeelte nodig om aan de oplossingen te komen zoals de TS ze opgaf? Of heb ik je fout begrepen?

Veranderd door Westy, 06 september 2012 - 22:37

---WAF!---

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 06:48

Je hebt nu de linkerkant van de vergelijking gevonden. Je kan nu de rechterkant vinden door f of g in te vullen in plaats van h.

#12

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2013 - 18:49

Je hebt nu de linkerkant van de vergelijking gevonden. Je kan nu de rechterkant vinden door f of g in te vullen in plaats van h.


Heel erg bedankt voor jullie antwoorden EvilBro en Westy.

Ik heb even f ingevuld in plaats van h en dan kom ik als einduitkomst uit dat :
h(k+2) - (1/4) h(k+1) - (1/8) h(k) = 3/4 (1/2)k

Klopt dit?

#13

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 januari 2013 - 19:06

Dat klopt. Al zou ik het als volgt opschrijven:
LaTeX

#14

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2013 - 20:47

Dat klopt. Al zou ik het als volgt opschrijven: LaTeX


Dank u zeer wel voor al de moeite!

#15

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2013 - 01:04

Ik ben aan een gelijkaardige oefening geraakt, en heb deze op dezelfde methode opgelost.

De opgave is hetzelfde, behalve de particuliere oplossingen.

LaTeX
LaTeX


Als eindoplossing vind ik hier: LaTeX

Kan er iemand dit bevestigen? Als het eenvoudiger zou zijn, kan ik ook direct mijn uitgeschreven versie uploaden. Ik hoor het wel.

Alvast bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures