Het "achter de d brengen" is niet bepaald mooi wiskundig geformuleerd en komt eigenlijk neer op een substitutie, alleen soms niet 'expliciet' uitgeschreven. Wat er achter je d staat is de integratieveranderlijk, standaard x dus dx.
Het voorbeeld:
cos(x) sin³(x) dx
Formeel: stel sin(x) = y <=> cos(x)dx = dy =>
y³ dy
Dit kan je ook doen door cos(x) "binnen de dx" te brengen, dus je gaat ook van integratieveranderlijke wisselen.
cos(x) sin³(x) dx =
sin³(x) d(sin(x))
Let wel: als je iets "binnen de d" brengt moet je het integreren, dat is nogal logisch want de d zelf heeft met de differentiaal te maken, "buiten de d brengen" is dus afleiden.
Vb: d(x²) = 2x dx dus ook x dx = 1/2 d(x²)
Bij je vraag over die integraal van de e-macht. Men brengt die e-macht "binnen de d", dus van e^x dx => d(e^x). Bovendien mag je binnen de d steeds een constante bijtellen, dat verandert niets. Dus om die integraal te bepalen gaat men over van d(e^x) naar d(e^x+1).
