Lorentztransformatie met radarmethode

SergjeB

Beste onbekende,

Wil je me helpen met een rekensom over het afleiden van de gamma-factor (hierna g)? g = de wortel van een gedeeld door (1 minus b-kwadraat). Hierin is b is beta is v gedeeld door c. C is de lichtsnelheid, die ik voor het gemak op verder op 1 stel. Dus 1 meter is gelijk aan 1 seconde. Dus b is gelijk aan v, maar ik gebruik verder steeds b. b is de snelheid van het ene inertiaalstelsel ten opzichte van het andere. Ik beschouw slechts twee inertiaalstelsels. Ik bekijk twee voorvallen in het universum, en bereken de transformatie van de coördinaten x en t naar x' en t'. X en t zijn de plaats- en tijdcoördinaat van een reflectie van een radarsignaal op de x-as, zoals ik in het ene inertiaalstelsel de reflectie waarneem. Het andere voorval is het samenvallen van de oorsprongen x=x'=0 op t=t'=0 van de twee stelsels. X' en t' zijn de coördinaten van de reflectie zoals jij, in het andere stelsel met snelheid b ze waarneemt.

De bijzondere Lorentztransformatie, waarbij de x-as en de x'-as langs elkaar vallen, en waarbij de positieve richting in de richting van jouw snelheid b ten opzichte van mij valt, en waarbij onze klokken op het samenvallen van onze oorsprongen gelijk op 0 staan, is dan: x'=g maal (x minus t maal b), en t'=g maal (t minus x maal b).

Als b klein is, is dit nagenoeg gelijk aan de Galileitransformatie waarbij x'=x minus t maal b, en t'=t, want g is dan ongeveer 1, en x maal b is ongeveer 0. Dat x'=x minus t maal b in de Galileitransformatie lijkt begrijpelijk, want jouw meetlat in jouw stelsel beweegt met jouw stelsel mee, en de plek van de reflectie van het radarsignaal beweegt dus voor jou met snelheid -b. Maar dit is misleidend. Want de reflectie is slechts op één moment, en voor jou net zo goed als voor mij, ligt de plek waar de reflectie plaatsvindt vast. En wel voor mij op x, en voor jou op x'. Waarom beweegt dan toch x' ten op zichte van x met snelheid -b?

In de Lorentztransformatie beweegt t' ten opzichte van t met snelheid -b, want t'=g maal (t minus x maal b). Daarbij komt dat t' een factor g langzamer loopt. Dat je deze beweging van t' in de Galileitransformatie niet ziet, komt doordat c in werkelijkheid niet 1 is. En dus is een meter niet gelijk aan een seconde, maar is een seconde ongeveer driehonderd miljoen keer zo groot. En dan valt zo'n beweging van x maal b in het niet bij de natuurlijke beweging van t, want die is een seconde per seconde.

Dat jouw t' en x' met snelheid -b bewegen ten opzichte van mijn t en x, weerspiegelt alleen maar mijn opvatting, dat de reflectie op een vaste tijd en plaats voor mij plaatsvindt, terwijl jij net zo goed vindt dat de reflectie voor jou op een vaste tijd en plaats vinden. En jij beweegt met snelheid b ten opzichte van mij. Tot zover heeft dit verhaal dus niets met de relativiteit die Einstein heeft ontdekt te maken. Het gaat tot nu toe slechts om de normale relativiteit, die een beweging van stelsel met zich meebrengt. Dat is voldoende over de Galileitransformatie ten opzichte van de Lorentztransformatie.

Einsteins' relativiteit heeft te maken met de gamma-factor g. Die is niet 1 als b wat groter dan 0 is. Als b bijvoorbeeld een half is, dan is de snelheid van onze stelsels de helft van de lichtsnelheid, dan is b kwadraat een kwart. 1 minus b kwadraat is dan driekwart. Een gedeeld door (1 minus b kwadraat) is dan vier derde. En g is de wortel daarvan, dus g is twee gedeeld door de wortel van drie, dat is twee gedeeld door ongeveer 1,7, dat is ongeveer twee keer 0,6. Is ongeveer 1,2. Dus g is groter dan 1, als b groter dan 0 is. Dat klopt, want als b groter dan 0 is, is b kwadraat dat ook, en 1 minus b kwadraat, en daarmee de wortel daarvan, is dan kleiner dan 1, dus moet g groter dan 1 zijn.

Dan zijn zowel x' als t' wat groter dan je zou verwachten. Maar de relativiteitstheorie gaat steeds over tijdsverlenging en plaatsverkorting. Dit is misschien de fout in mijn dictaat, en daarom kom ik er niet uit?

EvilBro

Het is mij niet duidelijk waar je probleem zit.

Marko

Opmerking moderator

Het voornaamste probleem zit hem in het niet gebruiken, of liever gezegd, niet duidelijk uitschrijven van de vergelijkingen. Oproep aan de topicstarter om de vergelijkingen waar hij op doelt uit te schrijven en gebruik te maken van alle mooie mogelijkheden die dit forum daarvoor te bieden heeft (sub/superscript, symbolen en natuurlijk de onvolprezen tex-editor.

SergjeB

Beste Marko,

De Lorentztransformatie waar het om gaat is:

\(\left\{\begin{array}{}x'=\gamma(x-v\cdot t)\\t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2}\cdot x)\end{array}
\)

Omdat ik deze zelf niet kon afleiden, en omdat

\(x'\)

en

\(t'\)

allebei een factor

\(\gamma\)

groter zijn dan je verwacht, terwijl er ook over lengteverkorting wordt gesproken, dacht ik dat deze formules fout in mijn dictaat stonden.

Marko

Als je nu de rest van het verhaal uit het eerste bericht óók in dergelijke nette en overzichtelijke formules zet, valt er misschien nog een touw aan vast te knopen

SergjeB

Beste EvilBro,

Het probleem had ik inderdaad nog niet beschreven, maar ik vond mijn topic al lang genoeg. Het gaat erom, dat je de Lorentztransformatie

\(\left\{\begin{array}{} x'=\gamma(x-v\cdott)\\t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2})\end{array}\)

uit de volgende formules afleidt volgens de radarmethode:

\(\left\{\begin{array} tt'-\frac{x'}{c}=k(t-\frac{x}{c}) \\ t+\frac{x}{c}=k(t+\frac{x'}{c})\end{array}\)

Met de k-factor berekend uit een reflectie door het andere inertiaalstelsel

\(k=\sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}\)

.

SergjeB

Beste Aeneas, De lorentzinvariantie heb ik wel kunnen ontdekken. Als je de formules met de k-factor met elkaar vermenigvuldigt krijg je:

\( c^2 \cdot t'^2 - x'^2 = c^2 \cdot t^2 -x^2 \)

SergjeB

Beste Marko, Er is misschien maar moeilijk een touw aan mijn probleem vast te knopen, doordat ik eigenlijk veel problemen tegelijk aangesneden heb. Een probleem is de Galileitransformatie:

\(\left\{\begin{array}{}x'=x-v\cdot t}\\t'=t\end{array}\)

. Zoals ik hem lees, beschrijft hij de beweging van de oorsprong van jouw inertiaalstelsel.

Ik zeg jouw, omdat ik de situatie om me het concreet voor te stellen zo beschrijf, dat ik in het vaste inertiaalstelsel zit, en jij in het bewegende. Dat ik mijn eigen stelsel als vast benoem en het jouwe als bewegend is relatief, dat weet ik wel, maar ik ben nu eenmaal egocentrisch ingesteld. Als ik loop of mijn hoofd draai, zeg ik ook dat dat maar bij wijze van spreken is. Eigenlijk loop ik niet en draai ik mijn hoofd niet, maar ik laat dan de wereld lopen, en draaien. Voor mij ben ik het vaste punt in de wereld, en jij beweegt met snelheid

\(v\)

langs mijn

\(x-\)

as in de positieve richting. Jij meet de dingen ook met de positieve as in jouw bewegingsrichting.

Ik ga ervan uit dat jij net zo egocentrisch bent als ik, en dat jij jouw stelsel vast noemt. Voor jou beweeg ik met snelheid

\(-v\)

in de positieve richting van onze gezamenlijke

\(x-\)

en

\(x'-\)

as, dat is met snelheid

\(v\)

in de negatieve richting.

Nou is mijn probleem, dat ik met de coördinaten

\(x\)

,

\(t\)

,

\(x'\)

en

\(t'\)

de plek van de reflectie van het radarsignaal weergeef, en zowel voor mij als voor jou, ligt die plek vast in plaats en tijd. Maar als ik naar de Galileitransformatie kijk, is het net alsof die plek voor jou beweegt met snelheid

\(-v\)

. Dat begrijp ik niet. Ik hoop dat je aan dit deelprobleem wel een touw kunt vastknopen, en dat je me op weg kunt helpen naar de oplossing.

Misschien zit het in het dubbele gebruik van de coördinaten.

\(x\)

en

\(t\)

voor punten in mijn stelsel, en tegelijk voor het vaste punt van de reflectie.

Voor de verheldering: Ik heb op mijn tijdstip

\(t- \frac{x}{c}\)

een radarsignaal naar rechts uitgezonden, dat jou passeerde op jouw tijdstip

\(t'-\frac{x'}{c}\)

. Dit signaal reflecteert op mijn

\(x\)

en

\(t\)

en jouw

\(x'\)

en

\(t'\)

. Dan komt het weer bij jou langs op tijd

\(t'+\frac{x'}{c}\)

, en ik ontvang het op mijn tijd

\(t+\frac{x}{c}\)

.

Uit de gemeten tijdstippen kan zowel ik als jij berekenen waar en hoe laat de reflectie plaatsvond. Dat is de kern van de radarmethode.

EvilBro

Het is mij nog steeds niet duidelijk waar voor jou nou de onduidelijkheid zit. Misschien helpt dit: Volgens waarnemer 1 geldt:

\(x_1(t) = 0\)

\(x_2(t) = v \cdot t\)

Op tijdstip \(t_0\) zendt waarnemer 1 een lichtpuls uit. Deze lichtpuls beweegt volgens:

\(x_l(t) = x_1(t_0) + c (t - t_0) = c (t - t_0)\)

Het tijdstip \(t_1\) is het tijdstip dat de lichtpuls aankomt bij waarnemer 2.

\(x_2(t_1) = x_l(t_1) \rightarrow v t_1 = c (t_1 - t_0) \rightarrow t_1 = \frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0\)

De lichtpuls wordt gereflecteerd en beweegt verder volgens:

\(x_l(t) = x_2(t_1) - c (t - t_1) = \frac{v}{1-\frac{v}{c}} t_0 - c (t - \frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0) = \frac{c+v}{1-\frac{v}{c}} t_0 - c t\)

Op tijdstip \(t_2\) komt deze puls aan bij waarnemer 1:

\(x_1(t_2) = x_l(t_2) \rightarrow \frac{c+v}{1-\frac{v}{c}} t_0 - c t_2 = 0 \rightarrow t_2 = \frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} t_0 \)

Je hebt nu drie punten:

\(A = (t_0,0)\)

\(B = (\frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0, \frac{v}{1-\frac{v}{c}} t_0)\)

\(C = (\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} t_0, 0)\)

Transformeer deze punten met:

\(x' = x - v t\)

\(t' = t\)

dan krijg je:

\(A' = (t_0,-v t_0)\)

\(B' = (\frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0, \frac{v}{1-\frac{v}{c}} t_0 - \frac{v}{1-\frac{v}{c}} t_0) = (\frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0,0)\)

\(C' = (\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} t_0, -v \frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} t_0)\)

Met deze punten kun je nu de snelheid van de lichtpuls bepalen tussen deze momenten.

\(v_{A' \rightarrow B'} = \frac{0 - (-v t_0)}{\frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0 - t_0} = \frac{v}{\frac{\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} } = c-v\)

\(v_{B' \rightarrow C'} = \frac{-v \frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} t_0 - 0}{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}} t_0 -\frac{1}{1-\frac{v}{c}} t_0 } = \frac{-v (1+\frac{v}{c})}{(1+\frac{v}{c})- 1} = c + v\)

Je ziet dus dat waarnemer 2 twee verschillende snelheden meet voor de snelheid van de lichtpuls. In werkelijkheid zal hij echter twee keer c meten. De transformatie hierboven komt dus niet overeen met de werkelijkheid en voldoet daarom niet.

SergjeB

Ik ben er vannacht achter gekomen, hoe ik het probleem met de Galileitransformatie moet oplossen. Het gaat erom dat je niet alleen de formule

\(x'=x-v\cdott\)

bekijkt, maar ook de formule

\(t'=t\)

.

Als je alleen de eerste formule neemt, lijkt het inderdaad om een bewegend punt in de ruimte te gaan. In gedachten neem ik dan een vaste x, en een variabele t. Ik krijg dan bijvoorbeeld met

\(x=0,3m\)

en

\(v=0,1\cdot c\)

de formule

\(x'=0,3m-0,1\cdot c\cdot t\)

. Dit is een bewegend punt.

Maar als je voor

\(t\)

ook iets invult, bijvoorbeeld

\(\frac{0,3m}{c}\)

, dan krijg je

\(x'=0,3m-0,1\cdot 0,3m\cdot \frac{c}{c}\)

, dus

\(x'=2,7m\)

. Dit is een vast punt, en dat is een duidelijke transformatie van

\(x\)

en

\(t\)

naar

\(x'\)

en

\(t'\)

!

SergjeB

De radarmethode is een eenvoudige en inzichtelijke manier om de Lorentztransformatie af te leiden. Maar zo komt hij niet uit de verf. Ik zal het nog een keer proberen. Maar er komt een moeilijke algebraformule in voor, waar ik hulp bij nodig heb.

De Lorentztransformatie beschrijft de manier waarop jij een voorval ziet, dat door mij wordt waargenomen op

\(x\)

en

\(t\)

. Als voorval kies ik de reflectie van een radarsignaal dat ik uitzend en jou passeert. De reflectie vindt plaats op

\(\{x, t\}\)

voor mij en

\(\{x', t'\}\)

voor jou. Omdat het radarsignaal met snelheid

\(c\)

gaat, is het tijdstip van uitzenden

\(t-\frac{x}{c}\)

. Het komt bij me terug op tijdstip

\(t+\frac{x}{c}\)

. De passages van het signaal langs jou vinden voor jou plaats op tijdstippen

\(t'-\frac{x'}{c}\)

en

\(t'+\frac{x'}{c}\)

.

Is tot zover alles in de opstelling duidelijk?

Ik zal straks uitleggen, dat uit deze gegevens volgt, dat

\(t'-\frac{x'}{c} = k(t-\frac{x}{c})\)

en

\(t+\frac{x}{c} = k(t'+\frac{x'}{c})\)

, met

\(k=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\)

, met

\(\beta = v/c\)

. V is onze onderlinge snelheid.

Volgens mijn dictaat levert dit bij oplossen de Lorentztransformatie

\(\left\{\begin{array}{l} x' = \gamma (x-vt) \\ t' = \gamma (t - \frac{v}{c^{2}}x) \end{array} \right.\)

, met

\(\gamma = 1 / \sqrt{1-\beta^{2}}\)

.

Hoe dit oplossen gaat, is me niet duidelijk. Wie kan me helpen?

Flisk

Stelsel met twee onbekenden x' en t'.

de vergelijkingen

\(t'-\frac{x'}{c} = k(t-\frac{x}{c})\)

en

\(t+\frac{x}{c} = k(t'+\frac{x'}{c})\)

worden samen in een stelsel geplaatst dat kan worden opgelost dmv subsitutie.

Zie hier: http://nl.wikipedia.org/wiki/Substitutie_(wiskunde)

Alsook: http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelsel_van_lineaire_vergelijkingen

Ik weet niet dat je dit bedoelde. Hopelijk helpt dit.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Lorentztransformatie met radarmethode

Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode

Re: Lorentztransformatie met radarmethode