Eigenruimte bepalen

QuarkSV

Hallo

Ik moet bij een bepaalde eigenwaarde, de eigenruimte bepalen. Eerst heb ik dus de karakteristieke veelterm bepaald en dit gaf me de eigenwaarden. Nu moet ik dus bij elke eigenwaarde, de eigenruimte bepalen.

Bij E_-1 (eigenruimte horend bij eigenwaarde -1): N((-1)I-A), waarbij N staat voor nulruimte en I voor eenheidsmartix.

Ik gebruik ERO's om naar de Echelonvorm martix te gaan, tot daar goed en wel, maar dan moet ik dus de eigenruimte zien te vinden. Ik weet wat het antwoord moet zijn, maar wat ik ook doe, ik kom niet aan dat antwoord.

Kan iemand me helpen om vanuit die Echelon matrix (in eerste zwarte kotje) de eigenruimte te bepalen (antwoord zie tweede zwarte kotje)?

Oefening zie bijlage.

Alvast bedankt

JorisL

Wat je volgens mij ook kan doen is de bijhorende eigenvector bepalen. (eigenvectoren voor een ontaarde eigenwaarde)

Dat gaat vaak vlugger dan de matrix om te vormen volgens mij. Althans zo doe ik het altijd.

Denk je dat klaar te spelen?

Hint:

\(A_k\cdot v = E_{-1}\cdot v\)

met v een eigenvector.

Siron

Als je de matrix in echelonvorm bekijkt dan komt dat eigenlijk overeen met het stelsel

\(\left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=0 \\ (k+3)x_2+2x_3=0 \end{array} \right.\)

met onbekenden

\(x_1,x_2,x_3\)

. Verder kwam in de matrix ook één nulrij voor dus zal de oplossingsruimte (i.e eigenruimte) 1-dimensionaal zijn. Je ziet zelf dat je twee vergelijkingen met 3 onbekenden hebt dus moet je een parameter invoeren. Stel bijvoorbeeld

\(x_2=t (t \in \mathbb{R})\)

, nu heb je een stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

\(x_1\)

en

\(x_3\)

dat je kan oplossen m.b.v subsitutiemethode bijvoorbeeld.

QuarkSV

JorisL schreef: ↑wo 05 sep 2012, 16:35
Wat je volgens mij ook kan doen is de bijhorende eigenvector bepalen. (eigenvectoren voor een ontaarde eigenwaarde)

Dat gaat vaak vlugger dan de matrix om te vormen volgens mij. Althans zo doe ik het altijd.

Denk je dat klaar te spelen?

Hint:
\(A_k\cdot v = E_{-1}\cdot v\)
met v een eigenvector.

Het lijkt me inderdaad wel interessant om het te kunnen doen met minder werk... Maar ik begrijp niet goed wat ik moet bij de door jou voorgestelde methode. Kun je wat meer uitleg geven?

Siron schreef: ↑wo 05 sep 2012, 16:44
Als je de matrix in echelonvorm bekijkt dan komt dat eigenlijk overeen met het stelsel

\(\left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=0 \\ (k+3)x_2+2x_3=0 \end{array} \right.\)
met onbekenden
\(x_1,x_2,x_3\)
. Verder kwam in de matrix ook één nulrij voor dus zal de oplossingsruimte (i.e eigenruimte) 1-dimensionaal zijn. Je ziet zelf dat je twee vergelijkingen met 3 onbekenden hebt dus moet je een parameter invoeren. Stel bijvoorbeeld
\(x_2=t (t \in \mathbb{R})\)
, nu heb je een stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
\(x_1\)
en
\(x_3\)
dat je kan oplossen m.b.v subsitutiemethode bijvoorbeeld.

Ik zie het in op deze manier, bedankt!

QuarkSV

@Siron, hoewel ik die substitutie waarvan je sprak begrijp, kom ik maar niet die eigenruimte uit... Als je die substitutie doorvoert, kom jij dan die gegeven eigenruimte uit?

TD

Laat me voor het gemak met x, y en z werken (om indices te vermijden).

Uit de tweede vergelijking volgt: (-3-k)y-2z = 0 waaruit -2z = (3+k)y zodat met y = -2t geldt dat z = (3+k)t. Je kan (bijvoorbeeld) ook gewoon y = t kiezen, maar dan krijg je een noemer voor z; met de keuze y = -2t kom je rechtstreeks uit op de modeloplossing. Uit de eerste vergelijking volgt dan namelijk dat x+y+z = 0 waaruit x = -y-z = -(-2t)-(3+k)t = (-k-1)t.

Een ander keuze voor de parameter verandert de eigenruimte niet, het 'ziet' er misschien alleen wat anders uit... Laat eventueel eens zien wat jij vond.

QuarkSV

Even herrekend en nu klopt het, denk ik:

Parameter: t=x₃

Voor x₁: t(-1-k)/(k+3)

Voor x₂: t(-2)/(k+3)

Dus als ik daar t van afzonder en veelvoud van neem (maal (k+3)), kom ik uit op de modeloplossing

.

Het klopt toch dat de rang 2 is omdat er 'slechts' één nulrij aanwezig is (3 rijen - 1 nulrij = 2)?

Bedankt voor de hulp TD en Siron.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Eigenruimte bepalen

Eigenruimte bepalen

Re: Eigenruimte bepalen

Re: Eigenruimte bepalen

Re: Eigenruimte bepalen

Re: Eigenruimte bepalen

Re: Eigenruimte bepalen

Re: Eigenruimte bepalen