Springen naar inhoud

Bewijs product even getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

the4dimensions

    the4dimensions


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2012 - 15:33

Uit ervaring weet ik dat wanneer je een even getal vermenigvuldigd met een ander even getal, je dan steeds een even getal uitkomt.
Nu, om dit zeker te weten is er natuurlijk een bewijs nodig.
Ik heb al wat gepuzzeld met algebra, maar nog geen echt bewijs gevonden.

Kan iemand mij hier een bewijs voor geven, als deze al dan niet bestaat?

Dankjewel!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 15:44

Een even getal is altijd te schrijven als 2n, met n een natuurlijk getal. Kan je daarmee verder?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

the4dimensions

    the4dimensions


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2012 - 15:56

Een even getal is altijd te schrijven als 2n, met n een natuurlijk getal. Kan je daarmee verder?


Daar had ik al aan gedacht, maar het probleem zit hem gewoon dat ik niet goed weten wat ik moet uitkomen om aan te tonen dat de uitkomst even is.

2n 2m = x
2(nm) = x
nm = x/2

En zo probeer ik te blijven puzzelen, maar hoe kun je zo aantonen dat x even is?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:01

Neem dus twee even getallen, 2n en 2m; wat is dan het product van deze twee? Is dat opnieuw van de 'gewenste vorm' om te kunnen spreken van een even getal? Namelijk: "2 maal een ander natuurlijk getal". Je lijkt een factor 2 te verliezen, ergens onderweg...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

the4dimensions

    the4dimensions


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:10

Neem dus twee even getallen, 2n en 2m; wat is dan het product van deze twee? Is dat opnieuw van de 'gewenste vorm' om te kunnen spreken van een even getal? Namelijk: "2 maal een ander natuurlijk getal". Je lijkt een factor 2 te verliezen, ergens onderweg...


2n 2m = 2(nm)
Is dit eigenlijk niet al het bewijs?
want 2(nm) is 2x iets, dus even?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:11

2n 2m = 2(nm)


Ik vraag me toch af hoe je tot 2(nm) komt... Er staat toch twee keer een factor 2?

want 2(nm) is 2x iets, dus even?


Dat idee is wel goed, op het foutje van hierboven na.

Eenzelfde redenering kan je gebruiken om te tonen dat ook even maal oneven weer even is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

the4dimensions

    the4dimensions


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:24

Ik vraag me toch af hoe je tot 2(nm) komt... Er staat toch twee keer een factor 2?


Ja je hebt gelijk het moet 4 zijn.
Ik dacht even dat je de 2 mocht afzonderen omdat ze bij beide termen 'm' en 'n' staan.
Maarja, 4x iets is ook nog steeds even dus...

Dan alleen nog oneven x oneven:

(2n+1)(2m+1) = 4nm + 2n + 2m + 1
4nm is even
2n is even
2m is even
+1 maakt het dus oneven.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:27

Klopt en analoog zou je vinden dat even * oneven terug even is; hetzelfde kan je gebruiken om gelijkaardige eigenschappen te bewijzen voor sommen (even/even, even/oneven etc).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

the4dimensions

    the4dimensions


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:38

Klopt en analoog zou je vinden dat even * oneven terug even is; hetzelfde kan je gebruiken om gelijkaardige eigenschappen te bewijzen voor sommen (even/even, even/oneven etc).


Ok waarom ik dit eigenlijk wou weten is voor het volgende:

Uit deze eigenschappen kun je dus afleiden dat een faculteit van een getal altijd even is.
(Altijd even x even of oneven x even).

Nu voor Brocard's probleem: n! + 1 = m²
Dit betekent dus dat m altijd oneven moet zijn.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 16:46

Nu voor Brocard's probleem: n! + 1 = m²
Dit betekent dus dat m altijd oneven moet zijn.


Aangezien n! even is (n>1), is n!+1 oneven. Het kwadraat van een even getal is even, dus m is inderdaad oneven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Benm

    Benm


  • >5k berichten
  • 8782 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2012 - 18:49

Met de faculteiten zou ik oppassen:

1! = 1, dus oneven.

daarmee is het net zoiets als stellen dat alle priemgetallen oneven zijn, behalve 2.
Victory through technology

#12

the4dimensions

    the4dimensions


  • >100 berichten
  • 159 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2012 - 18:53

Met de faculteiten zou ik oppassen:

1! = 1, dus oneven.

daarmee is het net zoiets als stellen dat alle priemgetallen oneven zijn, behalve 2.


Laten we dan 0 en 1 uitzonderen ;)

Waarom is Brocard's problem eigenlijk zo moeilijk?
Hebben we te weinig kennis van faculteiten?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures