Springen naar inhoud

Linearisatie e-macht



  • Log in om te kunnen reageren

#1

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2012 - 17:16

Hallo,

Ik zit voor mijn huiswerk met het volgende probleem:

Ik moet de volgende formule lineariseren (dus in de vorm y=alfa+beta*x krijgen):

y = e^(a+bx)/(e^(a+bx)+1)

Nu dacht ik dat het als volgt moest:

y^-1= 1/e^(a+bx)+e^(a+bx)/e^(a+bx)=e^-(a+bx)+1

ln(y^-1)=-a-bx+ln(1)=-a-bx

Z=-a-bx

met
Z=ln(y^-1)

wat een mooie lineaire functie is.

Maar jammer genoeg heb ik die ln volgens mij verkeerd toegepast, waardoor die e-machten niet netjes wegvallen.
Helaas zou niet ik weten hoe ik anders op het juiste antwoord uitkom. Heeft iemand hier misschien wat wijze raad?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 september 2012 - 17:33

ln van een som is niet de som van de ln'en.
This is weird as hell. I approve.

#3

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2012 - 17:47

Klopt, daar kwam ik later ook achter. Mijn uitwerking klopt dus niet. Mijn vraag is dus of iemand anders wel weet hoe het moet :)

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 september 2012 - 18:21

y = e^(a+bx)/(e^(a+bx)+1)

[/CODE]


Wat is je gedachtegang, heb je geen 'methode' geleerd?

#5

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2012 - 21:37

Ik heb een paar standaard voorbeelden gekregen, niet echt een specifieke methode (en dit zat niet bij 1 van de voorbeelden :P).

Ik heb alleen het vermoeden dat deze in 2 stappen opgelost moet worden. De 1e stap klopt gewoon en die methode komt ook voor in 1 van de voorbeelden (alleen dan met gewoon x ipv een e-macht). De 2e klopt dus zeker weten niet.

Ik neig nu heel erg naar e^-bx vervangen door x_2 (een nieuwe x)

dan kom ik uit op:

Z=1+a*x_2
met

Z=y^-1
a=e^-a
x_2=e^-bx

maar of dàt nou klopt...

Veranderd door kingtim, 08 september 2012 - 21:38


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 september 2012 - 21:55

Wat je doet is een 'stukje' van de grafiek benaderen door een 'stukje' rechte lijn ...
Denk je dan (ook) aan een raaklijn?

#7

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2012 - 22:07

Volgens mij is dat niet de bedoeling toch?

Wat jij noemt is een lineaire benadering maken (kleinste kwadraten methoden e.d.) (als ik het goed begrijp). Daar ga je uit van datapunten. Ik heb nu gewoon een functie en die wil ik in de vorm y=a+bx krijgen.


(makkelijker) voorbeeldje:

stel ik heb:

y=x/(ax+b)

wat niet een lineaire functie is, kan ik dat omzetten naar:

Z=a+bw
met
Z=y^-1
en
w=x^-1

Stel ik zou een set datapunten hebben die (min of meer) voldoen aan y=x/(ax+b) kan ik eerder genoemde omzet methode gebruiken om die datapunten tòch lineair te benaderen!

Maar het omzetten van die functie zelf heeft dus niks te maken met benaderen. Wat ik wil bereiken is allemaal exact.
(of ik moet echt iets grandioos verkeerd begrepen hebben :P).

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 september 2012 - 22:29

Ga je vb eens na ...

#9

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 september 2012 - 08:50

Hij is me gelukt! Het antwoord schoot me plots te binnen en gaat als volgt:

Het begint gewoon zoals ik al eerder had genoemd:

y = e^(a+bx)/(1+e^(a+bx)

y^-1=1+e^-(a+bx)

daarna de 1 naar de andere kant halen:

y^-1-1=e^-(a+bx)

en nu kan er wel gewoon een ln aan beide kanten toegepast worden en een subsitutie om het af te maken:

ln(y^-1-1)=-a-bx

Z=-a-bx

met:
Z=ln(y^-1-1)

Hier is geen probleem met a of b in de subsitutie (1 is immers altijd gewoon 1). En kan er zonder problemen een lineaire benadering gedaan worden.

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 september 2012 - 10:32

Voor zover ik het nu zie, zoek je de inverse functie ...

Hoe kom je aan y^-1:

y = e^(a+bx)/(1+e^(a+bx)

y^-1=1+e^-(a+bx)



Dit is goed ... , maar dan, dat wordt me niet duidelijk.

Veranderd door Safe, 09 september 2012 - 10:34


#11

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 september 2012 - 16:16

Hoe ik aan y^-1 kom?, Dat is gewoon een stukje "intuïtie" (lees: gebruik maken van 1 van de voorbeelden). Door alles tot de macht -1 te doen wordt die rottige breuk weg gehaald zodat er verder gelineariseerd kan worden. Dat heb ik dus gedaan door bij beide kanten 1 af te trekken en er het natuurlijke logaritme over heen te gooien. Wat zorgt voor een mooie lineaire formule.

Ik heb het vak nog maar 1 week dus veel verder dan dat komt mijn uitleg helaas ook weer niet. Maar ik ben in ieder geval blij met m'n antwoord :).

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 september 2012 - 16:45

Ok, maar je hoeft niet met z te werken en verder heb je nu de inverse functie van y bepaald en dat is zeker geen lineaire functie:
y=(-b+ln((1-x)/x))/a

#13

kingtim

    kingtim


  • >25 berichten
  • 68 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 september 2012 - 17:51

Hoe je op de functie
y=(-b+ln((1-x)/x))/a
komt zie ik niet zo 123,

Het is wel zeker nodig om met z te werken (want z is een lineaire functie nl. z=-a-bx)

stel: ik heb een set datapunten yi en xi. Deze datapunten lopen 'min of meer' rond de functie y=e^(a+bx)/(1+e^(a+bx)

en a en b zijn onbekend.
Nu zou ik een mooie lijn er doorheen willen trekken die netjes deze datapunten benadert met de kleinste afwijking.

Met de standaard methodes kom je niet heel ver aangezien het geen lineaire functie is (en de datapunten dus ook niet). Maar als ik de datapunten omzet met mijn uitwerking volgens:

Zi=ln(yi+1)

dan lopen de datapunten plots wèl mooi netjes op een lijn volgens Zi=-a-bxi.

Deze a en b kan je dan bepalen dmv. de kleinste kwadraten methode en die kan je ook weer invullen in de eerste functie (y=e^(a+bx)/(1+e^(a+bx)).

Resultaat: een set datapunten die niet met een lineaire functie benaderd kunnen worden tòch benaderd dmv de kleinste kwadraten methode (die normaliter alleen werkt met lineaire functies).

Ik hoop dat dat een beetje begrijpbaar is.

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 september 2012 - 19:14

Je was in staat om bij een x de y te bepalen
Je bent nu in staat om bij een bepaalde y de x te bepalen.


Ik laat het nu aan anderen over ...






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures