[natuurkunde] Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 143

Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Als de hoogte van impact gelijk is aan de initiele hoogte, dan wordt de maximale reikwijdte bereikt met een projectiehoek van 45°.

Nu wil ik echter de optimale hoek voor maximale reikwijdte weten als de hoogte van impact verschillend is van de initiele hoogte.

Ik ben erin geslaagd om volgende formule te vinden:

als

h = initiele hoogte

v = initiele snelheid

g = valversnelling

dan
\(r=v\cdot\cos(\theta)\cdot\frac{\sqrt{v^2\cdot\sin^2(\theta)+2\cdot g\cdot h}-v\cdot\sin(\theta)}{g}\)
en als
\(\frac{\delta r}{\delta\theta}=0\)
dan
\(\theta=\arccos\left(\sqrt{\frac{2\cdot g\cdot h+v^2}{2\cdot g\cdot h + 2\cdot v^2}}\right)\)
Zie hier.

Maar nu mijn uiteindelijke vraag: bestaat er geen eenvoudigere manier om dit te vinden? Want, eerlijk gezegd, deze berekening helemaal met de hand uitwerken lijkt me een stevige job. Als het niet anders kan, tja... dan zal het wel moeten. Maar als iemand een idee heeft om dit anders aan te pakken, dan hoor ik het graag!

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Helaas niet, op een bepaald punt worden de formules nu eenmaal iets ingewikkelder dan wat je zoal tegenkomt in fysica vraagstukjes van in het middelbaar :)

Op wikipedia staat dezelfde afleiding. (In je eerst formule r=... moet de - wel een + worden denk ik.)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Wat je eigenlijk doet is een eenvoudiger formule -waarin bijvoorbeeld de beginhoogte gelijk is aan de eindhoogte - gaan uitbreiden. Termen en/of factoren die eerder geen rol speelden, dus 0 waren en dus niet in een formule voorkwamen moeten nu wél voorkomen. Tja, dan komt het er ingewikkeld uit te zien.

Iets vergelijkbaars geldt voor opdrachten die je in stappen kunt uitwerken. Elk van de onderscheiden stappen kan met betrekkelijk eenvoudige formuletjes beschreven worden. Vat dat allemaal samen zó dat je in één stap kunt invullen en klaar, ook dan kom je vaak met één ingewikkelde formule thuis.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 143

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Xenion schreef: di 11 sep 2012, 15:27
Helaas niet, op een bepaald punt worden de formules nu eenmaal iets ingewikkelder dan wat je zoal tegenkomt in fysica vraagstukjes van in het middelbaar :)
Dat vreesde ik al een beetje... Maar goed... ik zal er eens aan beginnen, zie ;-)
Xenion schreef: di 11 sep 2012, 15:27Op wikipedia staat dezelfde afleiding. (In je eerst formule r=... moet de - wel een + worden denk ik.)
Mooie pagina, met een paar leuke details!

Wat die + of - betreft: ik denk dat dat te maken heeft met wat je als positieve richting kiest en welke hoogte (initieel of eind) je als 0 kiest. Vandaar ook de vele plus/min mogelijkheden in het eindresultaat van WolframAlpa.

Als ik echter gebruik maak van de 'standaard vergelijkingen', dan kom ik toch echt op een minnetje daar...
..... Vat dat allemaal samen zó dat je in één stap kunt invullen en klaar, ook dan kom je vaak met één ingewikkelde formule thuis.
Inderdaad. In stapjes werken met de standaard formules is vaak eenvoudiger en sneller.

Het opstellen van een specifieke formule komt eigenlijk op hetzelfde neer, maar dan met gebruik te maken van algemene parameters.

Deze formule ga ik toch (nadat ik ze zelf heb afgeleid) toevoegen aan mijn standaard lijstje ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 143

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Oh... @ Jan vdv...

Nog eens alles nagelezen, en ik vermoed dat je mijn oorspronkelijke vraag verkeerd begrepen hebt.

Die was ook een beetje ongelukkig geformuleerd.

De formule voor het berekenen van de optimale hoek valt best wel mee.

Mijn vraag was eigenlijk: is er geen eenvoudigere manier om die formule af te leiden...

Het antwoord daarop is ondertussen ook al gegeven, tenzij het antwoord van Xenion ook niet het antwoord op DIE vraag is ;)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Beste Janosik

Je hebt de formule van R als **** van
\(\theta\)
afgeleid

Ik wil je een groot compliment maken

Ik probeer deze formule ook af te leiden ,maar tot nu toe zonder enig resultaat

Zou je willen uitleggen hoe je aan die formule gekomen bent

Of in ieder geval een hint willen geven hoe je begonnen bent met de afleiding

Aad

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

aadkr schreef: di 11 sep 2012, 22:32
...

Of in ieder geval een hint willen geven hoe je begonnen bent met de afleiding
Je kan gewoon de bewegingsvergelijkingen uitschrijven: x(t) en y(t). Daar leg je een voorwaarde op voor de y coördinaat om het tijdstip van impact te bepalen: normaal gezien y(t)=0. Dat tijdstip vul je dan in in de vergelijking voor x.

Zie evt wikipedia voor de berekeningen.

Gebruikersavatar
Berichten: 143

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

aadkr schreef: di 11 sep 2012, 22:32
Beste Janosik

Je hebt de formule van R als **** van
\(\theta\)
afgeleid

Ik wil je een groot compliment maken

Ik probeer deze formule ook af te leiden ,maar tot nu toe zonder enig resultaat

Zou je willen uitleggen hoe je aan die formule gekomen bent

Of in ieder geval een hint willen geven hoe je begonnen bent met de afleiding

Aad
Tuurlijk... Ik ben al lang blij dat ik ook eens iemand kan helpen hier ;)

Stel:

initiele hoogte = hoogte van projectie = h

initiele snelheid = v

valversnelling = g

hoek van projectie = θ

verticale component van initiele hoogte:
\(v_v=v\cdot\sin(\theta)\)
horizontale component van initiele hoogte:
\(v_v=v\cdot\cos(\theta)\)
verticale component van de snelheid bij impact:
\(v_f^2=v_i^2+2\cdot a\cdot d\)
dus
\(v_f=\sqrt{v^2\cdot\sin^2(\theta)+2\cdot g\cdot h}\)
totale tijd in de lucht:
\(v_f=v_i+a\cdot t\)
dus
\(t=\frac{\sqrt{v^2\cdot\sin^2(\theta)+2\cdot g\cdot h}-v\cdot\sin(\theta)}{g}\)
horizontale afstand:
\(r=v_h\cdot t\)
dus
\(r=v\cdot\cos(\theta)\cdot\frac{\sqrt{v^2\cdot\sin^2(\theta)+2\cdot g\cdot h}-v\cdot\sin(\theta)}{g}\)
Zoals ik in een vorig bericht reeds gezegd heb: let op ivm de tekens bij g en h...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Maximale reikwijdte van projectiel (Ho verschillend van Hf)

Xenion en Janosik,

Hartelijk dank voor jullie reactie

Ik zal die afleiding nog eens goed bestuderen

Aad

Reageer