Springen naar inhoud

basis (Lineaire algebra)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2012 - 09:45

Hallo,

Veronderstel een vectorruimte LaTeX in LaTeX en een vector LaTeX . Laten we zeggen dat LaTeX ). Definieer verder de basis met LaTeX . Mijn vraag is nu, is LaTeX een basis LaTeX van LaTeX . Opzich zijn hiervoor twee vereisten. 1 De basis moet lineair onafhankelijk zijn, check, want deze is alleen, dus dat is waar. De tweede eis is, dat dat het opspansel van LaTeX , LaTeX . Dit is lijkt me niet het geval. Want ik kan bijvoorbeeld nooit het punt (2,4) maken. M.a.w. een basis bestaat minimaal uit twee vectoren? Is dit juist? bvd

Veranderd door lucca, 19 september 2012 - 09:49


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 september 2012 - 10:06

Je kunt in het algemeen bewijzen dat m vectoren hoogstens een m-dimensionale ruimte voortbrengen. In jouw geval is m=1. Om dus heel R² voort te brengen, heb je minstens ... vectoren nodig. Kun je de "..." zelf invullen?

Overigens, jouw manier van werken is mooi om iets in te zien, maar kan geen bewijs vormen, omdat je nu eenmaal specifieke keuzes maakt. Je kunt nu alleen maar besluiten dat (1, 1) geen basis vormt voor R², maar op zich zegt dat nog niets over (1, 3) of ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2012 - 22:39

Beste Drieske,

Je hebt dan voor het voortbrengen van heel LaTeX minimaal 2 vectoren nodig. Een verstandige keuze lijkt mij de volgende :

LaTeX en LaTeX .

Op deze manier kun je elk willekeurig punt in de twee dimensionale ruimte afdekken, nietwaar?

En om even terug te komen op het opspansel. Ik ga het nu heel informeel benoemen, maar maak overal een correctie waar nodig.

Het opspansel beslaat een ruimte die voorkomt uit een vastgesteld aantal vectoren. Deze vector(en) zijn allemaal uniek, dat willen zeggen dat niet niet uit elkaar te zijn op te bouwen. De ruimte die ik met de unieke vectoren kan maken is het opspansel. Dus laat ik een voorbeeld nemen zoals net (dus (1,0)) en (0,1)). Deze zijn beide uniek en het spant het twee dimensionale veld op. Ik kan namelijk elke willekeurige vector maken in het twee dimensionale veld met deze twee vectoren.

sla ik de spijker op zijn kop, of zit ik er ver vanaf?

Veranderd door lucca, 19 september 2012 - 22:39


#4

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2012 - 23:04

Je hebt dan voor het voortbrengen van heel LaTeX

minimaal 2 vectoren nodig. Een verstandige keuze lijkt mij de volgende :

LaTeX en LaTeX .
Op deze manier kun je elk willekeurig punt in de twee dimensionale ruimte afdekken, nietwaar?


Klopt.
(1,0) en (0,1) staan ook wel bekend als LaTeX en LaTeX .
De eenheidsvectoren.

En om even terug te komen op het opspansel. Ik ga het nu heel informeel benoemen, maar maak overal een correctie waar nodig.

Het opspansel beslaat een ruimte die voorkomt uit een vastgesteld aantal vectoren. Deze vector(en) zijn allemaal uniek, dat willen zeggen dat niet niet uit elkaar te zijn op te bouwen. De ruimte die ik met de unieke vectoren kan maken is het opspansel. Dus laat ik een voorbeeld nemen zoals net (dus (1,0)) en (0,1)). Deze zijn beide uniek en het spant het twee dimensionale veld op. Ik kan namelijk elke willekeurige vector maken in het twee dimensionale veld met deze twee vectoren.

sla ik de spijker op zijn kop, of zit ik er ver vanaf?


Je begrijpt het principe wel denk ik.

Stel LaTeX en LaTeX

Dan is LaTeX .

Dus het opspansel bestaat niet per se uit een vastgesteld aantal vectoren, maar is in dit geval wel uit minimaal 2 vectoren.

Veranderd door Jaimy11, 19 september 2012 - 23:06


#5

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2012 - 08:02

Beste jaimy,

Uit jouw laatste opmerking maak ik dan het volgende op :

Het opspansel gebruikt alleen de unieke vectoren om haar ruimte op te zetten. Het toevoegen van niet unieke vectoren aan de verzameling van het opspansel is dusdanig onnodig, omdat deze al reeds te maken zijn. Maar je mag best deze toevoegen. Je zou bij wijze van, 100 vectoren kunnen toevoegen aan de verzameling met de twee eenheidsvectoren, maar het opspansel wordt alleen voortgebracht door de twee eenheidsvectoren. Juist?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2012 - 08:54

Wat je zegt, klopt, maar nog even een opmerking: span{e1, e2} = span{e1, x} = span{e2, x}. Zie je dit en snap je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2012 - 12:12

Beste Drieske,

Als je met LaTeX bedoelt, zoals eerder gedefinieerd, dan ben ik het hiermee eens. Ik probeer altijd een vertaling in woorden te geven, nu namelijk als volgt :

Met vector x, kan ik voor het tweede coördinaat elk getal produceren (en het eerste coördinaat verandert hierdoor vrolijk mee). Met LaTeX kan ik vervolgens als het ware het eerste coördinaat corrigeren en dus ook elk getal produceren. In het andere geval, voor LaTeX en wederom vector x, gaat natuurlijk een analoog verhaal op. Dank voor deze informatie. Kun je me nog meer -aspecten- laten inzien?

Veranderd door lucca, 20 september 2012 - 12:14


#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2012 - 18:04

Dat bedoelde ik inderdaad met x :). En er zijn oneindig veel inzichten mogelijk. Bijvoorbeeld: denk je dat x = (1, 1) en y = (2, 1) een basis vormen voor R²?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 07:36

Hier heb ik even over nagedacht. Ten eerste merk ik op dat beide vectoren, x en y, onafhankelijk zijn van elkaar, wat in principe handig is. (is dit eenvoudig te bewijzen? volgens mij moet je dan laten zien dat je geen alfa en beta kunt vinden zodanig dat ze hetzelfde zijn toch?, misschien iets voor de volgende post)

Ik had als volgt in gedachte :

kies nu een reel getal LaTeX zodanig dat je elk paar LaTeX kunt maken. Dan krijg je de vergelijking :

LaTeX

LaTeX

Oplossen geeft :

LaTeX

LaTeX

Dit impliceert, dat ik voor gekozen A,B (en dat kan alles zijn) altijd wel een alfa en beta kan vinden, dus ja ik kan heel R2 opspannen. Klopt dat heren?

Veranderd door lucca, 21 september 2012 - 07:37


#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2012 - 09:38

Dat verhaal klopt inderdaad. Ben je overigens bekend met de term "maximaal vrij/onafhankelijk deel"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 september 2012 - 20:47

Deze termen zeggen mij niet zoveel. Ik ken wel de term onafhankelijk en afhankelijk m.b.t. verschillende vectoren. Afhankelijke vectoren kunnen bijvoorbeeld een opspansel niet vergroten. (toch?)

Is het ook zo dat, indien je 2 onafhankelijke vectoren hebt, je altijd R^2 afdekt?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 september 2012 - 10:27

Deze termen zeggen mij niet zoveel. Ik ken wel de term onafhankelijk en afhankelijk m.b.t. verschillende vectoren. Afhankelijke vectoren kunnen bijvoorbeeld een opspansel niet vergroten. (toch?)

Dat klopt inderdaad :). En de termen mag je vergeten. Het komt er gewoon op neer dat je over "maximaal vrij" spreekt als je zoveel lineair onafhankelijke vectoren hebt dat je er geen een meer aan kunt toevoegen zodat ze toch nog lineair onafhankelijk zijn van elkaar.

Is het ook zo dat, indien je 2 onafhankelijke vectoren hebt, je altijd R^2 afdekt?

Dat is inderdaad ook zo. Om nu even op R^2 te illustreren van maximaal vrij: kun je in R^2 3 lineair onafhankelijke vectoren vinden?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 september 2012 - 15:00

Drieske, ik heb er nog niet diep over kunnen nadenken, maar ik denk dat het aantal maximale aantal vectoren gelijk is aan het dimensie aantal, voor R^2 dus gelijk aan 2. Dit zou impliceren, dat ik met 2 onafhankelijke vectoren in R^2 alle overige vectoren zou kunnen construeren, en dat een dergelijke 3de vector, zoals jij beschrijft, nooit onafhankelijk zou kunnen zijn. Mijn eerste vraag terug, klopt dit? Zo ja, dan zal ik eens proberen te bewijzen dat dit inderdaad zo is.

Klinkt naar meer in ieder geval...

#14

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 september 2012 - 15:04

Dat klopt.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures