[wiskunde] basis (Lineaire algebra)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 19-09-'12, 10:45

lucca

Berichten: 758

basis (Lineaire algebra)

Hallo,

Veronderstel een vectorruimte
\( V \)
in
\( R^2 \)
en een vector
\( x \in V \)
. Laten we zeggen dat
\( x = ( 1 , 1 ) \)
). Definieer verder de basis met
\( B \)
. Mijn vraag is nu, is
\( x \)
een basis
\( B \)
van
\( V \)
. Opzich zijn hiervoor twee vereisten. 1 De basis moet lineair onafhankelijk zijn, check, want deze is alleen, dus dat is waar. De tweede eis is, dat dat het opspansel van
\( B \)
,
\( span(B) = R^2 \)
. Dit is lijkt me niet het geval. Want ik kan bijvoorbeeld nooit het punt (2,4) maken. M.a.w. een basis bestaat minimaal uit twee vectoren? Is dit juist? bvd
Omhoog

Bericht 19-09-'12, 11:06

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: basis (Lineaire algebra)

Je kunt in het algemeen bewijzen dat m vectoren hoogstens een m-dimensionale ruimte voortbrengen. In jouw geval is m=1. Om dus heel R² voort te brengen, heb je minstens ... vectoren nodig. Kun je de "..." zelf invullen?

Overigens, jouw manier van werken is mooi om iets in te zien, maar kan geen bewijs vormen, omdat je nu eenmaal specifieke keuzes maakt. Je kunt nu alleen maar besluiten dat (1, 1) geen basis vormt voor R², maar op zich zegt dat nog niets over (1, 3) of ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-09-'12, 23:39

lucca

Berichten: 758

Re: basis (Lineaire algebra)

Beste Drieske,

Je hebt dan voor het voortbrengen van heel
\( R^2 \)
minimaal 2 vectoren nodig. Een verstandige keuze lijkt mij de volgende :
\( x= (1,0) \)
en
\( y = (0,1) \)
.

Op deze manier kun je elk willekeurig punt in de twee dimensionale ruimte afdekken, nietwaar?

En om even terug te komen op het opspansel. Ik ga het nu heel informeel benoemen, maar maak overal een correctie waar nodig.

Het opspansel beslaat een ruimte die voorkomt uit een vastgesteld aantal vectoren. Deze vector(en) zijn allemaal uniek, dat willen zeggen dat niet niet uit elkaar te zijn op te bouwen. De ruimte die ik met de unieke vectoren kan maken is het opspansel. Dus laat ik een voorbeeld nemen zoals net (dus (1,0)) en (0,1)). Deze zijn beide uniek en het spant het twee dimensionale veld op. Ik kan namelijk elke willekeurige vector maken in het twee dimensionale veld met deze twee vectoren.

sla ik de spijker op zijn kop, of zit ik er ver vanaf?
Omhoog

Bericht 20-09-'12, 00:04

Jaimy11

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: basis (Lineaire algebra)

lucca schreef: ↑wo 19 sep 2012, 23:39
Je hebt dan voor het voortbrengen van heel
\( R^2 \)
minimaal 2 vectoren nodig. Een verstandige keuze lijkt mij de volgende :
\( x= (1,0) \)
en
\( y = (0,1) \)
.

Op deze manier kun je elk willekeurig punt in de twee dimensionale ruimte afdekken, nietwaar?
Klopt.

(1,0) en (0,1) staan ook wel bekend als
\(e_1\)
en
\(e_2\)
.

De eenheidsvectoren.
lucca schreef: ↑wo 19 sep 2012, 23:39
En om even terug te komen op het opspansel. Ik ga het nu heel informeel benoemen, maar maak overal een correctie waar nodig.

Het opspansel beslaat een ruimte die voorkomt uit een vastgesteld aantal vectoren. Deze vector(en) zijn allemaal uniek, dat willen zeggen dat niet niet uit elkaar te zijn op te bouwen. De ruimte die ik met de unieke vectoren kan maken is het opspansel. Dus laat ik een voorbeeld nemen zoals net (dus (1,0)) en (0,1)). Deze zijn beide uniek en het spant het twee dimensionale veld op. Ik kan namelijk elke willekeurige vector maken in het twee dimensionale veld met deze twee vectoren.

sla ik de spijker op zijn kop, of zit ik er ver vanaf?
Je begrijpt het principe wel denk ik.

Stel
\(e_1=(1,0); e_2=(0,1)\)
en
\(x=(1,1)\)
Dan is
\(span\{e_1, e_2, x\}=span\{e_1, e_2\}\)
.

Dus het opspansel bestaat niet per se uit een vastgesteld aantal vectoren, maar is in dit geval wel uit minimaal 2 vectoren.
Omhoog

Bericht 20-09-'12, 09:02

lucca

Berichten: 758

Re: basis (Lineaire algebra)

Beste jaimy,

Uit jouw laatste opmerking maak ik dan het volgende op :

Het opspansel gebruikt alleen de unieke vectoren om haar ruimte op te zetten. Het toevoegen van niet unieke vectoren aan de verzameling van het opspansel is dusdanig onnodig, omdat deze al reeds te maken zijn. Maar je mag best deze toevoegen. Je zou bij wijze van, 100 vectoren kunnen toevoegen aan de verzameling met de twee eenheidsvectoren, maar het opspansel wordt alleen voortgebracht door de twee eenheidsvectoren. Juist?
Omhoog

Bericht 20-09-'12, 09:54

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: basis (Lineaire algebra)

Wat je zegt, klopt, maar nog even een opmerking: span{e1, e2} = span{e1, x} = span{e2, x}. Zie je dit en snap je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 20-09-'12, 13:12

lucca

Berichten: 758

Re: basis (Lineaire algebra)

Beste Drieske,

Als je met
\( x = (1,1) \)
bedoelt, zoals eerder gedefinieerd, dan ben ik het hiermee eens. Ik probeer altijd een vertaling in woorden te geven, nu namelijk als volgt :

Met vector x, kan ik voor het tweede coördinaat elk getal produceren (en het eerste coördinaat verandert hierdoor vrolijk mee). Met
\( e^1 \)
kan ik vervolgens als het ware het eerste coördinaat corrigeren en dus ook elk getal produceren. In het andere geval, voor
\( e^2 \)
en wederom vector x, gaat natuurlijk een analoog verhaal op. Dank voor deze informatie. Kun je me nog meer -aspecten- laten inzien?
Omhoog

Bericht 20-09-'12, 19:04

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: basis (Lineaire algebra)

Dat bedoelde ik inderdaad met x :) . En er zijn oneindig veel inzichten mogelijk. Bijvoorbeeld: denk je dat x = (1, 1) en y = (2, 1) een basis vormen voor R²?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 21-09-'12, 08:36

lucca

Berichten: 758

Re: basis (Lineaire algebra)

Hier heb ik even over nagedacht. Ten eerste merk ik op dat beide vectoren, x en y, onafhankelijk zijn van elkaar, wat in principe handig is. (is dit eenvoudig te bewijzen? volgens mij moet je dan laten zien dat je geen alfa en beta kunt vinden zodanig dat ze hetzelfde zijn toch?, misschien iets voor de volgende post)

Ik had als volgt in gedachte :

kies nu een reel getal
\( \alpha, \beta \)
zodanig dat je elk paar
\( (A,B)\)
kunt maken. Dan krijg je de vergelijking :
\( \alpha * 1 + \beta * 2 = A \)
\( \alpha * 1 + \beta * 1 = B \)
Oplossen geeft :
\( \beta = A - B\)
\( \alpha = 2*B - A\)
Dit impliceert, dat ik voor gekozen A,B (en dat kan alles zijn) altijd wel een alfa en beta kan vinden, dus ja ik kan heel R2 opspannen. Klopt dat heren?
Omhoog

Bericht 23-09-'12, 10:38

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: basis (Lineaire algebra)

Dat verhaal klopt inderdaad. Ben je overigens bekend met de term "maximaal vrij/onafhankelijk deel"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 23-09-'12, 21:47

lucca

Berichten: 758

Re: basis (Lineaire algebra)

Deze termen zeggen mij niet zoveel. Ik ken wel de term onafhankelijk en afhankelijk m.b.t. verschillende vectoren. Afhankelijke vectoren kunnen bijvoorbeeld een opspansel niet vergroten. (toch?)

Is het ook zo dat, indien je 2 onafhankelijke vectoren hebt, je altijd R^2 afdekt?
Omhoog

Bericht 24-09-'12, 11:27

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: basis (Lineaire algebra)

lucca schreef: ↑zo 23 sep 2012, 21:47
Deze termen zeggen mij niet zoveel. Ik ken wel de term onafhankelijk en afhankelijk m.b.t. verschillende vectoren. Afhankelijke vectoren kunnen bijvoorbeeld een opspansel niet vergroten. (toch?)
Dat klopt inderdaad :) . En de termen mag je vergeten. Het komt er gewoon op neer dat je over "maximaal vrij" spreekt als je zoveel lineair onafhankelijke vectoren hebt dat je er geen een meer aan kunt toevoegen zodat ze toch nog lineair onafhankelijk zijn van elkaar.

Is het ook zo dat, indien je 2 onafhankelijke vectoren hebt, je altijd R^2 afdekt?
Dat is inderdaad ook zo. Om nu even op R^2 te illustreren van maximaal vrij: kun je in R^2 3 lineair onafhankelijke vectoren vinden?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 24-09-'12, 16:00

lucca

Berichten: 758

Re: basis (Lineaire algebra)

Drieske, ik heb er nog niet diep over kunnen nadenken, maar ik denk dat het aantal maximale aantal vectoren gelijk is aan het dimensie aantal, voor R^2 dus gelijk aan 2. Dit zou impliceren, dat ik met 2 onafhankelijke vectoren in R^2 alle overige vectoren zou kunnen construeren, en dat een dergelijke 3de vector, zoals jij beschrijft, nooit onafhankelijk zou kunnen zijn. Mijn eerste vraag terug, klopt dit? Zo ja, dan zal ik eens proberen te bewijzen dat dit inderdaad zo is.

Klinkt naar meer in ieder geval...
Omhoog

Bericht 24-09-'12, 16:04

Jaimy11

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: basis (Lineaire algebra)

Dat klopt.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”