Deelruimtes van Lp-ruimte
-
- Berichten: 102
Deelruimtes van Lp-ruimte
Hallo allemaal,
ik heb een vraag wat betreft de deelruimten van een Lp-ruimte.
Ik heb een Lp-ruimte, waar een oneindige rij a=(a1,a2,...) toebehoort als
Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i).
Mijn p-norm (Σ|ai|p)(1/p) .
Nu neem ik q>p en moet ik bewijzen dat lp een deelruimte is van lq (voor alle q>p).
Ik ga ervanuit dat mijn rij a in lp zit en nu wil ik dus bewijzen dat hij ook in lq zit.
Ik kan bewijzen dat ||a||q = (Σ|ai|q)(1/q) < ∞.
Nu is mijn vraag, is dit voldoende om te zeggen, a zit in lq? Zo ja waarom? En anders, kan iemand mij een hint geven hoe ik erop uit kan komen dat Σ|ai|q < ∞ (en dus niet alleen (Σ|ai|q)(1/q) < ∞ ) ?
ik heb een vraag wat betreft de deelruimten van een Lp-ruimte.
Ik heb een Lp-ruimte, waar een oneindige rij a=(a1,a2,...) toebehoort als
Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i).
Mijn p-norm (Σ|ai|p)(1/p) .
Nu neem ik q>p en moet ik bewijzen dat lp een deelruimte is van lq (voor alle q>p).
Ik ga ervanuit dat mijn rij a in lp zit en nu wil ik dus bewijzen dat hij ook in lq zit.
Ik kan bewijzen dat ||a||q = (Σ|ai|q)(1/q) < ∞.
Nu is mijn vraag, is dit voldoende om te zeggen, a zit in lq? Zo ja waarom? En anders, kan iemand mij een hint geven hoe ik erop uit kan komen dat Σ|ai|q < ∞ (en dus niet alleen (Σ|ai|q)(1/q) < ∞ ) ?
- Berichten: 10.179
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Per definitie behoort een rij (an)ntot lq als de q-norm van je rij kleiner is dan oneindig. Dus is de zaak inderdaad (alleen) om te bewijzen dat ||a||q eindig is. En dat is je gelukt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Ok, dankjewel. Ja dat is me wel gelukt.Drieske schreef: ↑wo 19 sep 2012, 16:46
Per definitie behoort een rij (an)ntot lq als de q-norm van je rij kleiner is dan oneindig. Dus is de zaak inderdaad (alleen) om te bewijzen dat ||a||q eindig is. En dat is je gelukt?
Toch vreemd dat mijn boek zegt dat je rij er toe behoort als Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i). Naar mijn idee geldt dit minder vaak dan dat je p-norm eindig is.
- Berichten: 10.179
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Hoezo dat? Je p-norm is toch hetzelfde als dat, op een p-de wortel na?Vogeltjes schreef: ↑do 20 sep 2012, 10:19
Toch vreemd dat mijn boek zegt dat je rij er toe behoort als Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i). Naar mijn idee geldt dit minder vaak dan dat je p-norm eindig is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Ja, maar uiteindelijk komt er dus wel een ander antwoord uit, hoewel ze dan beiden wel eindig zullen zijn.Drieske schreef: ↑do 20 sep 2012, 15:01
Hoezo dat? Je p-norm is toch hetzelfde als dat, op een p-de wortel na?
- Berichten: 10.179
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Maar het is wel equivalent... Er geldt dat
\(\sum_i |a_i|^p = \|a\|_p^p\)
eindig is als en slechts als \(\left(\sum_i |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \|a\|_p\)
eindig is. Dus is er toch niets aan de hand?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Let overigens op je notatie. Een Lp-ruimte is een functieruimte met een norm ||f||p gedefinierd door
\(\|f\|_p = \left(\int\ |f|^p d\mu\right)^{\frac{1}{p}}\)
. Dit is dus iets anders dan een lp-ruimte waar jij het hier over hebt."Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 102
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Ok, ja dat is waar. Alleen dat eindig/oneindig wil me nog wel eens in verwarring brengenDrieske schreef: ↑za 22 sep 2012, 10:58
Maar het is wel equivalent... Er geldt dat\(\sum_i |a_i|^p = \|a\|_p^p\)eindig is als en slechts als\(\left(\sum_i |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \|a\|_p\)eindig is. Dus is er toch niets aan de hand?
- Berichten: 10.179
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Wat bedoel je met "in verwarring brengen"? Is het je nu duidelijk dat
niet klopt?Naar mijn idee geldt dit minder vaak dan dat je p-norm eindig is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
Ja dat snap ik Maar wat ik met verwarring bedoelde is dat als het een bv kleiner is dan '3' dat de ander dat dan niet per se is. Maar met oneindig is het een heel ander verhaal natuurlijkDrieske schreef: ↑ma 24 sep 2012, 11:24
Wat bedoel je met "in verwarring brengen"? Is het je nu duidelijk dat
niet klopt?
- Berichten: 10.179
Re: Deelruimtes van Lp-ruimte
De exacte waarde gaat inderdaad verschillend zijn. Maar die doet er ook niet echt toe gelukkig . Zolang ze maar eindig is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.