Deelruimtes van Lp-ruimte

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 102

Deelruimtes van Lp-ruimte

Hallo allemaal,

ik heb een vraag wat betreft de deelruimten van een Lp-ruimte.

Ik heb een Lp-ruimte, waar een oneindige rij a=(a1,a2,...) toebehoort als

Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i).

Mijn p-norm (Σ|ai|p)(1/p) .

Nu neem ik q>p en moet ik bewijzen dat lp een deelruimte is van lq (voor alle q>p).

Ik ga ervanuit dat mijn rij a in lp zit en nu wil ik dus bewijzen dat hij ook in lq zit.

Ik kan bewijzen dat ||a||q = (Σ|ai|q)(1/q) < ∞.

Nu is mijn vraag, is dit voldoende om te zeggen, a zit in lq? Zo ja waarom? En anders, kan iemand mij een hint geven hoe ik erop uit kan komen dat Σ|ai|q < ∞ (en dus niet alleen (Σ|ai|q)(1/q) < ∞ ) ?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Per definitie behoort een rij (an)ntot lq als de q-norm van je rij kleiner is dan oneindig. Dus is de zaak inderdaad (alleen) om te bewijzen dat ||a||q eindig is. En dat is je gelukt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 102

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Drieske schreef: wo 19 sep 2012, 16:46
Per definitie behoort een rij (an)ntot lq als de q-norm van je rij kleiner is dan oneindig. Dus is de zaak inderdaad (alleen) om te bewijzen dat ||a||q eindig is. En dat is je gelukt?
Ok, dankjewel. Ja dat is me wel gelukt.

Toch vreemd dat mijn boek zegt dat je rij er toe behoort als Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i). Naar mijn idee geldt dit minder vaak dan dat je p-norm eindig is.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Vogeltjes schreef: do 20 sep 2012, 10:19
Toch vreemd dat mijn boek zegt dat je rij er toe behoort als Σ|ai|p < ∞ (oneindige sommatie over i). Naar mijn idee geldt dit minder vaak dan dat je p-norm eindig is.
Hoezo dat? Je p-norm is toch hetzelfde als dat, op een p-de wortel na?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 102

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Drieske schreef: do 20 sep 2012, 15:01
Hoezo dat? Je p-norm is toch hetzelfde als dat, op een p-de wortel na?
Ja, maar uiteindelijk komt er dus wel een ander antwoord uit, hoewel ze dan beiden wel eindig zullen zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Maar het is wel equivalent... Er geldt dat
\(\sum_i |a_i|^p = \|a\|_p^p\)
eindig is als en slechts als
\(\left(\sum_i |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \|a\|_p\)
eindig is. Dus is er toch niets aan de hand?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Let overigens op je notatie. Een Lp-ruimte is een functieruimte met een norm ||f||p gedefinierd door
\(\|f\|_p = \left(\int\ |f|^p d\mu\right)^{\frac{1}{p}}\)
. Dit is dus iets anders dan een lp-ruimte waar jij het hier over hebt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 102

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Drieske schreef: za 22 sep 2012, 10:58
Maar het is wel equivalent... Er geldt dat
\(\sum_i |a_i|^p = \|a\|_p^p\)
eindig is als en slechts als
\(\left(\sum_i |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \|a\|_p\)
eindig is. Dus is er toch niets aan de hand?
Ok, ja dat is waar. Alleen dat eindig/oneindig wil me nog wel eens in verwarring brengen ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Wat bedoel je met "in verwarring brengen"? Is het je nu duidelijk dat
Naar mijn idee geldt dit minder vaak dan dat je p-norm eindig is.
niet klopt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 102

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

Drieske schreef: ma 24 sep 2012, 11:24
Wat bedoel je met "in verwarring brengen"? Is het je nu duidelijk dat

niet klopt?
Ja dat snap ik :) Maar wat ik met verwarring bedoelde is dat als het een bv kleiner is dan '3' dat de ander dat dan niet per se is. Maar met oneindig is het een heel ander verhaal natuurlijk :)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Deelruimtes van Lp-ruimte

De exacte waarde gaat inderdaad verschillend zijn. Maar die doet er ook niet echt toe gelukkig :) . Zolang ze maar eindig is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer