[wiskunde] Bewijs homografische functie

wiiiiskunde

VRAAG :Heeft er iemand tips hoe je aan een bewijs begint?

OPGAVE:bewijs dat het snijpunt van de 2 asymptoten gelijk is aan het symmetriemiddelpunt van de functie.

KENNIS x=-d/c <--- verticale asymptoot (functie)

y=a/c <--- horizontale asymptoot (functie)

(-d/c,a/c) <--- symmetriemiddelpunt

ax+b/cx+d <--- homografische funcite

a=horizontale asymptoot

d=verticale asymptoot

snijpunten van 2 functies = functies aan elkaar gelijk stellen

-maar werkt dit bij x=-d/c en y=a/c?-

POGING: gegeven: homografische functie: (ax+b) / (cx+d)

VA: x= -d/c - c= -d/x

HA: y= a/c - c= a/y

Te bewijzen:-d/x=a/y

Bewijs:-d/x=a/y

-dy/ax =0 dit is fout :/?

Westy

Ik volg niet helemaal wat je aan het doen bent, maar je begin was goed:

VA: x= - d/c en HA: y= a/c ; de eerste is een verticale rechte, waarvan alle punten x-coordinaat - d/c hebben, en de tweede is een horizontale waarvan alle punten y-coordinaat a/c hebben. Da kan je toch het snijpunt van deze 2 rechten aflezen, zonder te berekenen? (maw dit is een stelsel dat in feite al opgelost is, dus je moet niks meer aan elkaar gelijk stellen). Lukt dit?

De vraag is nu of dit snijpunt ook het symmetrie-middelpunt is?

Ik meen te bergijpen dat je de coordinaten van het symmetrie-middelpunt al kent, staat dat in de theorie? (want In dat geval is de oefening al opgelost)

Of moet je nog zelf controleren of het snijpunt van de 2 assymptoten een symmetriemiddelpunt is? Hebn je gezien hoe dat moet?

wiiiiskunde

Ik moet kunnen aantonen dat het snijpunt van de 2 asymptoten van een homografische functie gelijk is aan het symmetriemiddelpunt van die functie.

(er waren geen coördinaten gegeven)

Te bewijzen: snijpunt van de VA en HA = het symmetriemiddelpunt

Westy

OK.

-Ik had je een tip gegeven om het snijpunt van de 2 assymptoten te kunnen vinden, is dat ondertussen gelukt?

-Weet je wat een symmetriemiddelpunt is, of hoe je kan aantonen of een punt een symmetriemiddelpunt van een functie is? (maw: Weet je aan welke voorwaarde de coordinaten van het symmetriemiddelpunt van een functie moeten voldoen?)

wiiiiskunde

- dank je voor uw tip. stel VA=3 HA=4 dan weet je dat het snijpunt (4.3) is.

- ik weet dat het symmetriemiddelpunt bij het basis voorschrift = (-d/c ; a/c)

Snap niet hoe je dit kan bewijzen.

Westy

wiiiiskunde schreef: ↑vr 21 sep 2012, 22:02
- dank je voor uw tip. stel VA=3 HA=4 dan weet je dat het snijpunt (4.3) is.

Bijna:

vb: VA heeft vergelijking x=3 en HA heeft vergelijking y=4.

Dan heeft het snijpunt welke coordinaten?

wiiiiskunde schreef: ↑vr 21 sep 2012, 22:02
- ik weet dat het symmetriemiddelpunt bij het basis voorschrift = (-d/c ; a/c)

Moet je nu bewijzen dat (-d/c ; a/c) een symmetriemiddelpunt is van de gegeven functie? Of was het de bedoeling aan te tonen dat het snijpunt van de 2 assymptoten hieraan gelijk was?

Wat is een symmetriemiddelpunt? Kan je dat in een formule uitdrukken?

wiiiiskunde

had de coördinaten omgewisseld, het symmetriemiddelpunt als je veronderstelt dat VA=3 dus x=3 en HA=4 dus y=4 dan is dan (3;4)

Geen idee hoe je een symmetriemiddelpunt in formule moet uitdrukken misschien zo (VA,HA)?

snijpunt: VA=HA

Westy

Inderdaad.

rest nog de vraag:

Moet je nu bewijzen dat (-d/c ; a/c) een symmetriemiddelpunt is van de gegeven functie? Of was het de bedoeling aan te tonen dat het snijpunt van de 2 assymptoten hieraan gelijk was?

Wat is een symmetriemiddelpunt? Kan je dat in een formule uitdrukken?

wiiiiskunde

De bedoeling was om aan te tonen dat het snijpunt van 2 assymptoten gelijk is aan symmetriemiddelpunt. Heb nooit een echte formule gezien om het symmetriemiddelpunt te berekenen meestal deed ik dat op het zicht.

tempelier

Ook ik hoor die term voor het eerst.

Is het misschien zo dat als de figuur in dat punt gespiegeld wordt je de zelfde figuur terug krijgt?

wiiiiskunde

inderdaad symmetriemiddelpunt=spiegel punt

Westy

als y=f(x) een functie is, dan is het punt (u,v) een symmetrie-middelpunt als

\( \frac{f(u+x)+f(u-x)}{2}=v \)

De beredenering hierachter is net dezeldfde als die bij een oneven functie, waar

\( f(-x) = -f(x) \)

, maar dan niet met (u,v) als symm.mpt ipv (0,0).

tempelier

De funktie heeft een horizontale en een vertikale assymtoot die snijden elkaar loodrecht. in S.

Men kan nu het vraagstuk vereenvoudigen door een de grafiek zo te verschuiven dat S op de oorsprong komt.

Of anders een ander assenstelsel te kiezen dat het zelfde resultaat oplevert.

Westy

Even wat uitleg:

Een symmetrie-middelpunt is wat het woord zegt, een punt van symmetrie, een puntspiegeling-symmetriepunt dus als het ware.

In bijgaande tekening: in het blauw een homografische functie, met symmetrie-middelpunt (u,v) , dus met de assymptoten in het rood,

Als hierin de afstand van U tot U+x gelijk is aan de afstand van U tot U-x, dan moet ook de afstand van f(U+x) tot V gelijk zijn aan de afstand van f(U-x) tot V, en dus moet:

\( f(U+x) -v = v- f(U-x) \)

,

waaruit onmiddellijk de formule uit mijn vorig berichtje volgt.

wiiiiskunde

dank u voor de hulp het heeft mij veel geholpen

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Bewijs homografische functie

Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie

Re: Bewijs homografische functie