Springen naar inhoud

Raaklijn hyperbool mbv implicite differentatie berekenen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

MrPepper

    MrPepper


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 19:48

Ik loop momenteel vast bij het oefenen van Analyse bij het berekenen van de raaklijn van een hyperbool. Ik moet de raaklijn berekenen in het punt LaTeX

Ik heb de volgende formule:
LaTeX

Nu heb ik geleerd dat, als je een raaklijn wil berekenen, je altijd eerst de afgeleide moet berekenen. Daarom bereken ik hier de afgeleide van y.

LaTeX

Wat ik bij eerdere raaklijn vergelijkingen deed was de y waarde van het raakpunt invullen in de afgeleide om de x waarde te berekenen. Ik weet echter niet hoe ik LaTeX hier in kan vullen.

Kan iemand me op weg helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 21:27

De afgeleide van een functie in een punt geeft de richtingscoefficient (rico) van de raaklijn aan de functie in dat punt;
je hebt de afgeleide berekend, nu moet je die nog berekenen in dat punt LaTeX , dus je moet hier in jouw afgeleide dus gewoon x en y vervangen door LaTeX en LaTeX , dan heb je de rico van de raaklijn. Snap je?

Daarna moet je nog de vergelijking van de raaklinn zelf opstellen ; met de rico die je net hebt berekend en die door het punt LaTeX gaat:
ken je nog de formule van de vergelijking van een rechte met een gegeven rico en die door een gegeven punt gaat?
---WAF!---

#3

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 21:52

Nee als je de raaklijn aan een parabool, hyperbool , ellips wilt hebben dan hoef je niet de afgeleide te bepalen als je een punt op die kromme hebt.

Wel moet je nagaan of dat punt er daadwerkelijk op ligt anders krijg je een poollijn.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#4

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 22:23

Tempelier, bedankt voor je rechtzetting.

Aangezien de vraag hier was de raaklijn te bepalen aan een kromme 'in' een punt, veronderstelde ik dat het gegeven was dat dit punt op die kromme ligt, maar het kan natuurlijk nooit kwaad om dat even na te gaan.

Tenslotte was het gewoon mijn bedoeling om de meest algemene methode mee te geven voor het vinden van een raaklijn aan een functie (P,H en E zijn natuurlijk geen functies, maar je kan ze wel beschouwen als 2 functies), steunend op de algemene formule van de rechte, zonder daarbij de specifieke formules van raaklijnen aan P, H en E te gebruiken. Ik heb zo het idee dat als je iets kan vinden door redeneren, dat steeds te verkiezen is boven het gewioonweg van buiten leren van formules -ongeacht het feit of dat nu moeilijk of makkelijk te onthouden formules zijn- en die dan de waarden 'in te pluggen' om het antwoord te vinden. Toch?
---WAF!---

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 22:33

Het blind inpluggen van waarden is inderdaad niet zo'n goede methode het is beter iets algemeens te kennen.

Maar toch vinden we jet heel gewoon dat mensen voor het oplossen van een vkv inpluggen op de abc-formule zonder deze af te kunnen leiden.

Voor de raaklijn is de methode is de afgeleide misschien te preveleren maar daarvoor moet dan wel de techniek van impliciet differentieren worden beheerst.

Is dat niet aanwezig dan kunnen ze beter het trucje leren.

Veranderd door tempelier, 21 september 2012 - 22:34

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 22:46

OK, dat van die abc formule klopt.
Maar toch even ook niet de titel die de ts aan het begin opgaf uit het oog verliezen:
'raaklijn' hyperbool met behulp van impliciete differentiatie berekenen'.

aan de TS:
Jouw impliciete differentiatie was trouwens juist, de rico van de raaklijn aan een Hyperbool in een punt LaTeX

is inderdaad LaTeX
---WAF!---

#7

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 22:58

Ik reageerde op of er persé de afgeleide moet worden uit gerekend dat is niet zo.

De raaklijn aan de ellips is immers simpel weg: LaTeX

Of wat algemener: LaTeX
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#8

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2012 - 23:20

Ik reageerde op of er persé de afgeleide moet worden uit gerekend dat is niet zo.

De raaklijn aan de ellips is immers simpel weg: LaTeX



Of wat algemener: LaTeX


Als je deze formules kent, en mag gebruiken, moet je inderdaad geen afgeleide hebben, klopt.
Maar als je deze formules moet bewijzen, of als je ze gewoon wil terugvinden (mocht je ze vergeten zijn), dan kan je dat eenvoudig doen door de hierboven gevonden richtingscoefficient in te vullen in de vergelijking van een rechte door een gegeven punt LaTeX met rico m:
LaTeX
en dat dan wat verder uit te werken.
---WAF!---

#9

MrPepper

    MrPepper


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 09:54

Bedankt voor de reacties, ik ben even mijn antwoordmodel te rade gegaan omdat ik, zelfs met jullie advies, niet veel verder kom.

Ik was bij de volgende formule overgebleven:
LaTeX

Waarbij ik de raaklijn door het punt LaTeX moet berekenen. Zoals Westy al aangeeft heb ik de rico van mijn raaklijn dus door x, y te vervangen voor LaTeX . Dus:

Rico: LaTeX
'
Dit invullen in de formule van de vergelijking van een rechte met een gegeven rico, die door een gegeven punt gaat:

LaTeX

Nu liep ik weer een beetje vast en, omdat ik dacht dat het gewoon even herleiden was, had ik even het antwoorden model erbij gepakt om te zien wat ik over het hoofd zag. Daar doen ze echter het volgende:

De formule LaTeX valt na een vermenigvuldiging aan beide kanten met LaTeX te herschrijven als:

LaTeX (dit heb ik nagerekend en klopt).

Het antwoord model beredeneert echter dat, aangezien LaTeX op een hyperbool ligt, je de volgende berekening kunt maken:

LaTeX

Ik snap niet hoe deze laatste stap gedaan wordt, kunnen jullie me hier ook mee op weg helpen?

Veranderd door MrPepper, 22 september 2012 - 09:55


#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 september 2012 - 11:52

Ik moet de raaklijn berekenen in het punt LaTeX



Ik heb de volgende formule:
LaTeX

Nu heb ik geleerd dat, als je een raaklijn wil berekenen, je altijd eerst de afgeleide moet berekenen. Daarom bereken ik hier de afgeleide van y.

LaTeX


LaTeX


Dit is niet goed, dit is een ellips!

LaTeX


Dit is wel goed!
Je wilt de raaklijn in (x0,y0), dat betekent dat dit punt op de hyperbool ligt, dus welke voorwaarde hoort erbij?

De rc van je raaklijn in dit punt is dus:

LaTeX

Stel nu je raaklijn op in dit punt ...

#11

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 11:59

LaTeX
Dit geeft:

LaTeX

LaTeX

enz.

PS. Zie nu dat ik gisteren in het eind antwoord een vergissing heb gemaakt.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#12

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 23:03

Er is inderdaad wat verwarring, de TS had het over een hyperbool, maar gaf de vergelijking op -zoals SAFE schreef- van een ellips. Dat zal wel een tikfoutje geweest zijn?


Aan MrPepper:
Je laatste stap ontbreekt nog, maar alles staat er in feite al:

LaTeX
en
LaTeX

Zie je die tweede formule staan in die eerste? Als je die dus vervangt, dan ben je er, als volgt:

LaTeX
zie je?


aan Tempelier & voor alle duidelijkheid:
Je had het zelf al gezien, maar inderdaad: de vergelijking

LaTeX

geeft na herleiding

LaTeX

en dus niet de formule die jij gaf.


Ik veronderstel dat hiermee alles wat duidelijker is?
---WAF!---






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures