Springen naar inhoud

aftelbaar oneindig


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Berna

    Berna


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 13:54

Vraag: 2|N is de verzameling van de even natuurlijke getallen.
Ik moet zien te bewijzen dat 2|N aftelbaar oneindig is.

Ik kan elke even getal combineren met een natuurlijke getal zo dat
2=1, 4=2, 6=3,....

|N={1,2,3,4,5,6,.....,n} (n∈ |N)
2|N={2,4,6,8,10,12,...2n} (n∈ |N)

f: |N --> 2|N f(n)=2n,.

Ik moet bewijzen dat f bijective is dat doe ik door apart te bewijzen dat het surjectief en injectief is,

n1,n2 ∈|N
f(n1)=f(n2)
dus 2n1=2n2 dus n1=n2
dus f is injectief.

Ik weet niet hoe ik de surjectieve gedeelte moet bewijzen?
En ik weet ook niet hoe ik uiteindelijk kan stellen dat 2Geplaatste afbeelding aftelbaar oneindig is nadat bewezen is dat f bijective is.

Bedankt! (Ik ben niet zo goed in het opstellen van bewijzen op een goede manier, want ik ben net begonnen met het leren op te stellen van bewijzen)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 september 2012 - 17:09

Je moet een injectief verband leggen tussen N en 2N ... (dat is bijna vanzelfsprekend)

#3

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 september 2012 - 18:47

Ik weet niet hoe ik de surjectieve gedeelte moet bewijzen?
En ik weet ook niet hoe ik uiteindelijk kan stellen dat 2Geplaatste afbeelding aftelbaar oneindig is nadat bewezen is dat f bijective is.

1) Dat het een bijectie is, is toch gewoon triviaal? Injectie heb je aangetoond, voor de surjectie: alle even getallen (in 2Geplaatste afbeelding) kan je schrijven als '2n', ze zijn dus het beeld van element 'n' in Geplaatste afbeelding.

2) Cantor heeft beredeneerd dat je kan zeggen dat 2 verzamelingen met een eindig aantal elementen gelijk even groot zijn als je een 1 naar 1 mapping (bijectie) kan opstellen tussen de elementen. Aangezien die methode niet steunt op het kunnen tellen van de elementen kan je dat veralgemenen naar verzamelingen van oneindige grootte. (bron)

#4

Berna

    Berna


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 21:25

als je stelt dat 2N een deelverzameling is van N en dat f(n)=2n bijectief is dan kun je stellen dat
2N aftelbaar oneindig is?

Ik bedoel als je bewijst dat..

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 september 2012 - 21:34

Precies! Maar is dat niet echt duidelijk?

Wat is de definitie van "aftelbaar"?

#6

Berna

    Berna


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 21:44

Als f een surjectieve functie is en als de A, in f:A->B, een deelverzameling van |N is

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 september 2012 - 21:56

Een verzameling is aftelbaar oneindig als er een 1-1 verband is met de verz N.
Populair: elk element van de verz is 1 op 1 in een 'kamer' te stoppen met een nummer.

Vb 2984 heeft een nummer, welk?

#8

Berna

    Berna


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 21:58

Dat is dan toch 2984

#9

Berna

    Berna


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 22:11

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.
Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en
de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 september 2012 - 22:47

Dat is dan toch 2984

Klopt dat met f(n)=2n?

#11

Berna

    Berna


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2012 - 22:52

o nee het is dan het dubbele van 2984

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2012 - 00:34

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.
Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en
de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

Voor deze: je keuze van verzameling is goed. Het lijkt me ook de grootste hindernis eigenlijk. Voor je bijectie: zij A = {1/n | n in N} en definieer f op A door 1/n af te beelden op 1/(n+1). Wat kies je voor f op de rest? Waarom is dit bijectief?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 september 2012 - 00:39

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.
Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en
de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven


Dit klinkt bekend. Kleine wereld ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures