Springen naar inhoud

model y_t



  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2012 - 21:08

Hallo,

Voor degene die bekend zijn met een AR(1) model. Is gedefinieerd als:

LaTeX ,

met LaTeX .

Hieruit volgt (dus) dat LaTeX ... (als je steeds substitueert) hou je alleen maar de begin term met 0,7^k over en de som van epsilons. gezien die allemaal verwachting 0 hebben, isde verwachting ook 0. Mijn vraag is of het kan dat LaTeX ...

Moet dat epsilon verdeeld zijn met (3,sigma^2) bijv? Of mag zoiets niet? Of moet ik een drift toevoegen? (maar dan loopt de functie ookweg...) weet iemand hoe dit te doen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 september 2012 - 21:20

Ik ben toevallig zelf juist bezig geweest met linear prediction, in de diepere theorie achter de AR modellen ben ik niet niet geraakt, maar op wikipedia wordt het wel begrijpbaar uitgelegd.

Bij zo'n modellen wordt er ondersteld dat het proces wide-sense stationary is. De statistische eigenschappen veranderen niet met de tijd. Dat geldt als de coëfficiënten bij de vorige samples binnen de eenheidscirkel liggen in het complexe vlak. (Dan is het systeem een stabiel IIR filter.) Voor 0.7 is het dus in orde.

Dat betekent dat LaTeX

Als je dan de verwachtingswaarde toepast op de het hele model dan krijg je:
LaTeX
LaTeX
Dus inderdaad µ = 0

Maar dat geldt dus in de veronderstelling dat het signaal wide sense stationary was, dus zal de verwachtingswaarde nooit verschillend van 0 worden.

Als je het gemiddelde van de ruis verandert, dan zal het gemiddelde van het proces mee veranderen en verschillend worden van 0. (Je kan dat ook bekijken als op wikipedia die c gelijk maken aan dat gemiddelde en dan de ruis weer met gemiddelde 0 beschouwen.)

#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2012 - 22:05

dank Xenion. Aanvullend op jouw opmerking (en wikipedia) volgt dan het volgende:

LaTeX

met c uit R en constant. Voor c = 0 volgt dan wederom het oude model, en is de verwachting van y_t wederom gelijk aan 0. Voor c ongelijk aan 0, krijg je door even door te schrijven een polynoom reeks voor c, en wordt je verwachting als volgt:

LaTeX . Hierin zie je mooi dat voor c=0 het gemiddelde, zoals verwacht, 0 is en dat voor phi waardes dicht tegen 1 , de verwachting heel groot kan worden. Ook dit is logisch, want de c - termen worden dan pas heeeel ver in de terugrecursie klein gemaakt door phi. (omdat deze zo groot is.) Voor hele kleine phi waardes nadert het gemiddelde naar c. Ook logisch, je hebt dan maar in principe 1 keer c (namelijk) de eerste recursie. Stem je hiermee in?

Veranderd door lucca, 26 september 2012 - 22:06


#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 september 2012 - 23:10

LaTeX

. Hierin zie je mooi dat voor c=0 het gemiddelde, zoals verwacht, 0 is en dat voor phi waardes dicht tegen 1 , de verwachting heel groot kan worden. Ook dit is logisch, want de c - termen worden dan pas heeeel ver in de terugrecursie klein gemaakt door phi.

De c-term is in dit geval onbestaande, die is in elke stap van de recursie 0. Er wordt niks klein gemaakt ofzo. Het gemiddelde van het proces blijft hetzelfde.

Voor hele kleine phi waardes nadert het gemiddelde naar c. Ook logisch, je hebt dan maar in principe 1 keer c (namelijk) de eerste

Niet helemaal: je hebt bij elke stap een volledige c + nog een kleiner stukje phi*c van de vorige recursie (vermenigvuldigd met phi): LaTeX
(1-phi) met phi < 1 is een getal in )0,1]
c/(1-phi) zal dus voor kleine waardes van phi een klein beetje groter zijn dan c.

Uit interesse: in welke context ben je hiermee bezig?

#5

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 september 2012 - 08:49

Wat ik bedoel met klein / groot maken is het volgende. Veronderstel het model:

LaTeX

als ik nu LaTeX substitueer, krijg ik :

LaTeX

Dit trucje kan ik k - keer herhalen, en dan verkrijg ik :

LaTeX

Neem nu de verwachting over beide kanten, dan krijgen we :

LaTeX

Gegeven dat de verwachting voor elke epsilon gelijk is (=0, je haalt de verwachting door de som), valt deze term gelijk weg, en verkrijgen we:

LaTeX

Voor k groot genoeg zien we, dat -een of andere- start term LaTeX weg wordt gevaagd doordat LaTeX . en dan kunnen we grofwerk zeggen dat: (Als je veronderstelt dat LaTeX )

LaTeX .

Dit is wat ik probeerde te zeggen Xenion. Je ziet nu wel dat voor klein gekozen phi waardes het snel gebeurt dat de c - waardes (verder terug in de tijd) weggevaagd worden. En dat voor groter phi's de c - waardes langer ''groot'' blijven terug in de tijd. Dit correspondeert ook met de laatst gevonden uitdrukking. Stem je hier wel mee in? (PS. eerlijk gezegd snapte ik niet precies je commentaar). En het is voor een vak op school.. :-)

Veranderd door lucca, 27 september 2012 - 08:53


#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 september 2012 - 09:05

Ja ok, ik denk dat het wel klopt. Op wikipedia zeggen ze dat die phi kleiner moeten zijn dan 1 omdat de resultaten zouden gelden en jouw uitwerking toont dat aan.

LaTeX
Hier kun je de meetkundige reeks in herkennen. Voor k naar oneindig convergeert deze naar 1/(1-phi) als phi < 1.
De term LaTeX wordt inderdaad verwaarloosbaar klein.

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 september 2012 - 10:17

Hallo, Voor degene die bekend zijn met een AR(1) model. Is gedefinieerd als: LaTeX

, met LaTeX . Hieruit volgt (dus) dat LaTeX ...

Dat lijkt mij toch niet. De limiet van t gaat naar oneindig is wel nul, maar voor een specifiek tijdstip hoeft de verwachtingswaarde helemaal niet nul te zijn. Stel dat y_0 = 100, dan is de verwachtingswaarde van y_1 echt geen nul (maar 70).

#8

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 september 2012 - 18:19

De berekening die ik in post #2 zet gaat niet uit van het feit dat de verwachtingswaarde 0 is, maar wel gelijk op elk tijdstip. Uitrekenen levert wel op dat ze 0 moét zijn.

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 september 2012 - 07:03

Als de verwachtingswaarde op elk moment gelijk is dan moet deze inderdaad nul zijn, maar waarom zou je er vanuit gaan dat de verwachtingswaarde op elk moment gelijk is?

#10

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 september 2012 - 08:43

In signaalverwerking wordt er wel vaker gewerkt met wide sense stationary processen. Voor transmissie is het beter om geen DC component, dus geen gemiddelde waarde, te hebben.

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 september 2012 - 09:40

Dat iets in een bepaald vakgebied gebruikelijk is, is natuurlijk leuk en aardig, maar is er ook een reden om hier te veronderstellen dat je deze aannames mag maken?

#12

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 september 2012 - 10:48

Die eigenschap volgt als de filtercoëfficiënten allemaal binnen de eenheidscirkel vallen. 0.7 in dit voorbeeld is dus in orde. Ik haalde die info gewoon van wikipedia (zie Definition en Example of AR(1)). Om dat te bewijzen kan je naar de uitwerking van TS in bericht #5 kijken.

#13

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 september 2012 - 13:41

Ik begin te vermoeden dat ik met Wikipedia aan het praten ben...

Nogmaals, ALS je aanneemt dat y_t bekeken wordt nadat eventuele opstartverschijnselen al voldoende zijn uitgedoofd DAN kun je inderdaad aantonen dat de verwachtingswaarde nul is. Echter, waarom zou je dat hier doen?

#14

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 september 2012 - 17:33

ALS je aanneemt dat y_t bekeken wordt nadat eventuele opstartverschijnselen al voldoende zijn uitgedoofd DAN kun je inderdaad aantonen dat de verwachtingswaarde nul is.

Aangezien de verwachtingswaarde doorgaans gedefinieerd wordt over de hele tijds-as (of toch een 'voldoende lange tijd' zie ik niet waarom je die veronderstelling niet zou mogen maken.

De vergelijking van het AR model kan je herschrijven als een IIR filter met ruis als input.
ALS alle polen van het IIR filter binnen de eenheidscirkel vallen (stabiel filter), DAN is het proces wide sense stationary (verwachtingswaarde van de output verandert niet in de tijd).
ALS de verwachtingswaarde niet verandert, DAN is ze 0.

TS vraagt of het mogelijk is om verwachtingswaarde verschillend van 0 te hebben en dat kan dus door die constante toe te voegen in het model.

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2012 - 00:22

Aangezien de verwachtingswaarde doorgaans gedefinieerd wordt over de hele tijds-as (of toch een 'voldoende lange tijd' zie ik niet waarom je die veronderstelling niet zou mogen maken.

Je kan de verwachtingswaarde van een variabele op een bepaald tijdstip bepalen, maar niet 'over de hele tijds-as'. Ik denk dat je wil zeggen dat je ervan uitgaat dat het systeem steady state heeft bereikt. Alles wat je beweert is juist gegeven dat het systeem deze toestand heeft bereikt. Mijn vraag blijft echter waarom je hier van uitgaat? (of misschien beter: waarom je niet vermeldt dat je deze aanname doet?)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures