Beste wetenschappers,
ik geraak maar niet uit aan de volgende vraag: "Bepaal de som w + w^3 + w^7 + w^9 als w=exp(iπ/5) of in de goniometrische notatie van een complex getal: cos(π/5)+ i*sin(π/5)
Alvast bedankt!
Laatste berichten
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
09:27
2013 – Augustus Vraag 3 2
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Complexe getallen som
-
- Berichten: 4.320
Re: Complexe getallen som
Bepaal eerst eens de waarden van de machten in de notatie van Euler.
(dat is de notatie:
(dat is de notatie:
\(w=e^{\frac{1}{5}i\pi}\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 8
Re: Complexe getallen som
w^7 kan ik gelijk stellen aan w^2 * w^5 = -w^2 (vermits de 5de macht van een complex getal neerkomt op het vermenigvuldigen van de argumenten met 5 wat in dit geval een argument van pi betekent en modulus 1, dat is het reële getal 1). Analoog kan ik w^9 gelijk stellen aan -w^4. Dit lijkt allemaal mooi maar in de praktijk brengt het me niets verder. Ik probeerde ook al simpson toe te passen en zelfs te combineren met de vorige methode maar ook deze methode blijkt tot niets te leiden.
-
- Berichten: 8
Re: Complexe getallen som
Oja, het moet zo nauwkeurig mogelijk bepaald worden.
Ik neem trouwens aan dat mijn vorige bericht hetgene was wat je bedoelde, tempelier?
Ik neem trouwens aan dat mijn vorige bericht hetgene was wat je bedoelde, tempelier?
-
- Berichten: 4.320
Re: Complexe getallen som
Hoeveel is:
\(w^n=\bigl(e^{\frac{1}{5}i\pi}\bigr)^n \)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 8
Re: Complexe getallen som
cos(πn/5)+isin(πn/5) of e^(i*pi*n/5)
-
- Berichten: 4.320
Re: Complexe getallen som
Klopt ja pas dit nu eens toe op de machten uit het vraagstuk.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 8
Re: Complexe getallen som
Dan krijg ik cos(π/5)+ i*sin(π/5)+cos(3π/5)+ i*sin(3π/5)+cos(7π/5)+ i*sin(7π/5)+cos(9π/5)+ i*sin(9π/5), maar hoe werk ik dat uit naar een eenvoudige vorm?
Voor alle duidelijkheid, het antwoord weet ik: dat is 1 normaal gezien, maar ik moet er op een of andere manier manueel geraken ... Dit is me echter nog steeds een raadsel.
Voor alle duidelijkheid, het antwoord weet ik: dat is 1 normaal gezien, maar ik moet er op een of andere manier manueel geraken ... Dit is me echter nog steeds een raadsel.
-
- Berichten: 4.320
Re: Complexe getallen som
Je kunt nu op meer manieren verder gaan.
Of je ze allemaal beheerst weet ik niet want ik ken je achtergrond niet.
Manier 1.
Teken ze in de eenheids cirkel en bedenk dan dat je optellen van complexe getallen kan zien als het optellen van vectoren, misschien dat dat een gemalkkelijke oplossing geeft.
Manier 2.
De sinussen en cosinussen zijn te bepalen in wortel vormen, die je daarna kunt optellen.
Manier 3.
Tik gewoon de waarden op je reken machiene in en neem daar de de sommen van.
PS. De derde manier is waarschijnlijk niet de bedoeling geweest van de opsteller geweest.
PPS.
Of je ze allemaal beheerst weet ik niet want ik ken je achtergrond niet.
Manier 1.
Teken ze in de eenheids cirkel en bedenk dan dat je optellen van complexe getallen kan zien als het optellen van vectoren, misschien dat dat een gemalkkelijke oplossing geeft.
Manier 2.
De sinussen en cosinussen zijn te bepalen in wortel vormen, die je daarna kunt optellen.
Manier 3.
Tik gewoon de waarden op je reken machiene in en neem daar de de sommen van.
PS. De derde manier is waarschijnlijk niet de bedoeling geweest van de opsteller geweest.
PPS.
\( \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Complexe getallen som
Je kan op deze manier verder komen ...Mathanalysis schreef: ↑za 29 sep 2012, 18:27
w^7 kan ik gelijk stellen aan w^2 * w^5 = -w^2 (vermits de 5de macht van een complex getal neerkomt op het vermenigvuldigen van de argumenten met 5 wat in dit geval een argument van pi betekent en modulus 1, dat is het reële getal 1). Analoog kan ik w^9 gelijk stellen aan -w^4. Dit lijkt allemaal mooi maar in de praktijk brengt het me niets verder. Ik probeerde ook al simpson toe te passen en zelfs te combineren met de vorige methode maar ook deze methode blijkt tot niets te leiden.
-
- Berichten: 8
Re: Complexe getallen som
@ pluimdrager, hoe dan precies?
@Tempelier, de derde manier is inderdaad niet de bedoeling geweest. De eerste manier zal ik zekerlijk uitproberen en dat lukt me wel met de achtergrondkennis. Ik ben echter nog zeer nieuwsgierig naar de wortelvormen van de sinussen en cosinussen in jouw tweede manier. Ik heb echter nog gehoord dat je er wortelvormen van kan maken, maar hoe weet ik niet precies. Wilt U mij deze manier nog aanleren? Alvast bedankt.
Edit: dat omzetten naar wortelvormen, is dat met de som en verschilformules dat je misschien bedoelt?
@Tempelier, de derde manier is inderdaad niet de bedoeling geweest. De eerste manier zal ik zekerlijk uitproberen en dat lukt me wel met de achtergrondkennis. Ik ben echter nog zeer nieuwsgierig naar de wortelvormen van de sinussen en cosinussen in jouw tweede manier. Ik heb echter nog gehoord dat je er wortelvormen van kan maken, maar hoe weet ik niet precies. Wilt U mij deze manier nog aanleren? Alvast bedankt.
Edit: dat omzetten naar wortelvormen, is dat met de som en verschilformules dat je misschien bedoelt?
-
- Berichten: 4.320
Re: Complexe getallen som
Als je de zaak schets kijk dan vooral naar de symmetrieën die ontstaan.
In principe heb je daarna genoeg om de opgave op te lossen aan:
Je kunt de vorm
Dat is in dit vraagstuk het geval:
PS. Ben je soms een elektro student?
In principe heb je daarna genoeg om de opgave op te lossen aan:
\(\cos \frac{1}{5}\pi = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \quad , \quad \cos \frac{3}{5}\pi = \frac{1-\sqrt{5}}{4} \)
--------------------------------------------Je kunt de vorm
\(z=e^{i\alpha} \text{altijd herschrijven tot:} z=a+bi \)
Bij sommigen waarden lukt het dan a en b uit te drukken in wortelvormen.Dat is in dit vraagstuk het geval:
PS. Ben je soms een elektro student?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 8
Re: Complexe getallen som
Neen, wel ingenieursstudent.tempelier schreef: ↑zo 30 sep 2012, 06:03
Als je de zaak schets kijk dan vooral naar de symmetrieën die ontstaan.
In principe heb je daarna genoeg om de opgave op te lossen aan:
\(\cos \frac{1}{5}\pi = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \quad , \quad \cos \frac{3}{5}\pi = \frac{1-\sqrt{5}}{4} \)--------------------------------------------
Je kunt de vorm\(z=e^{i\alpha} \text{altijd herschrijven tot:} z=a+bi \)Bij sommigen waarden lukt het dan a en b uit te drukken in wortelvormen.
Dat is in dit vraagstuk het geval:
PS. Ben je soms een elektro student?
Het enige wat ik nog zou willen weten is HOE je zonder (zonder!) rekenmachine aan die wortelvormen geraakt. Dit is namelijk de bedoeling van de opsteller van de oefening.
-
- Berichten: 7.068
Re: Complexe getallen som
Misschien helpt dit:
\(e^{i \theta} = e^{i (\theta + 2 \pi)\)
dus\(1 = e^{i 0} = e^{i 2 \pi} = e^{i \frac{10 \pi}{5}}\)
Vermenigvuldigen of delen met de meest rechter term is dus hetzelfde als vermenigvuldigen of delen door 1. Dat verandert dus niks, dus:\(\omega + \omega^3 + \omega^7 + \omega^9 = e^{i \frac{\pi}{5}} + e^{i \frac{3 \pi}{5}} + e^{i \frac{7 \pi}{5}} + e^{i \frac{9 \pi}{5}}\)
De laatste twee termen delen door 1:\(= e^{i \frac{\pi}{5}} + e^{i \frac{3 \pi}{5}} + e^{i \frac{-3 \pi}{5}} + e^{i \frac{-\pi}{5}}\)
en dan even herordenen:\(= e^{i \frac{\pi}{5}} + e^{-i \frac{\pi}{5}} + e^{i \frac{3 \pi}{5}} + e^{-i \frac{3 \pi}{5}} = 2 \frac{e^{i \frac{\pi}{5}} + e^{-i \frac{\pi}{5}}}{2} + 2 \frac{e^{i \frac{3 \pi}{5}} + e^{-i \frac{3 \pi}{5}}}{2} = 2 \cos(\frac{\pi}{5}) + 2 \cos(\frac{3 \pi}{5})\)
