Springen naar inhoud

Bewijs raadsel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2012 - 21:14

Ik heb een leuk vraagstuk waarvan je een bewijs moet formuleren gevonden dat ik zelf best wel moeilijk vind heb nog steeds geen antwoord kunnen vinden.
Hier is het vraagstuk:
Jan heeft recent een relatiebureau opgericht.
Hij heeft al 20 klanten allemaal van verschillende leeftijd strikt jonger dan 70 jaar.
Omdat leeftijden in een relatie van belang zijn, schrijft Jan alle mogelijke verschillen op (ongeacht het geslacht)
Hij merkt op dat er een verschil minstens 4 keer voorkomt.
We moeten bewijzen dat dit altijd het geval is en beargumenteren in wiskunde taal.

Kan iemand me helpen ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

zpidermen

    zpidermen


  • >1k berichten
  • 1623 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2012 - 21:30

Aangezien de leeftijden allemaal verschillend moeten zijn, is de oudste persoon hooguit 69 jaar. De één na oudste persoon is dan hoogstens 68 jaar. Je hebt dan een leeftijdsverschil van 1 jaar. Omdat je het liefst zoveel mogelijk verschillende leeftijdsverschillen wilt hebben, heeft de volgende persoon een leeftijdsverschil van 2 jaar met de 68 jarige, en is zelf dus 66 jaar. De volgende persoon heeft dan een leeftijdsverschil van 3 jaar met de 66 jarige en is zelf dus 63 jaar. Op deze manier kun je het rijtje uitbreiden en krijg je allemaal verschillende leeftijdsverschillen van 1, 2, 3, 4, 5, enz. jaar. De personen zijn dan resp. 69, 68, 66, 63, 59, 54, enz. jaar.

Maar dit rijtje kun je niet uitbreiden totdat je alle 20 personen hebt gehad... Het punt is namelijk dat niemand jonger kan zijn dan 0 jaar. Dat betekent dat je sommige mensen een leeftijd moet geven die groter is dan 0, maar die leeftijd mag een ander niet hebben. En dat betekent dat je ook geen unieke leeftijdsverschillen meer zal hebben.

Ik hoop dat je op deze manier wat op weg geholpen bent.
Beter kaal als geen haar want een kip snurkt

#3

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2012 - 21:38

Maar wat ik niet echt zo goed begrijp is je theorie van het resp. kiezen van getallen.
In de opgave staat dat je verschillende leeftijden hebt hooguit 70(dus 69 is het oudste zoals je zelf hebt gezegd)
Maar kan je niet gewoon lukraak 20 verschillende leeftijden kiezen?

Veranderd door arenaparty2, 01 oktober 2012 - 21:45


#4

zpidermen

    zpidermen


  • >1k berichten
  • 1623 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2012 - 00:21

Dat kan op zich wel, maar je wilt uiteindelijk toch toewerken naar het bewijs dat er altijd een leeftijdsverschil is dat bij het gegeven probleem minstens vier keer voor komt... Lukraak maar wat leeftijden kiezen is dan niet handig.
Beter kaal als geen haar want een kip snurkt

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2012 - 08:56

Voor de leeftijden van de klanten geldt:
LaTeX
Bekijk nu de som van de volgende verschillen:
LaTeX
Deze som zal altijd groter moeten zijn dan een bepaalde waarde (bedenk zelf welke waarde). Dit legt dan het minimale verschil in leeftijd tussen klant 1 en klant 20 vast. Uit dat minimum zal blijken dat het niet kan.

#6

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2012 - 18:48

Mijn theorie:
1)Zoals ik al zei in de klas dat we gingen beginnen met de kleinste leeftijdsverschillen en we nemen elk verschil 1x.

Dan krijgen we: 69;68;66;63;…

Zo komen wij aan getallen <0 met 20 klanten wat helemaal niet mag –‘

2)We proberen het met 2x :

69;68;67;65;63;60;57;…

Nog steeds getallen <0 …

3) 3x

Dit is hetgeen waar ik van denk dat het een beetje juist (buiten het kleinste leeftijd) is daarom geef ik hier ook alle leeftijden xp

69 68 67 66 64 62 60 57 54 51 47 43 39 34 29 24 18 12 6 -1

4)als je in plaats van 3x, 4x doet
:
69 68 67 66 65
63 61 59 57
54 51 48 45
41 37 33 29
23 17 11 5

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2012 - 18:55

3) 3x
Dit is hetgeen waar ik van denk dat het een beetje juist (buiten het kleinste leeftijd) is daarom geef ik hier ook alle leeftijden xp
69 68 67 66 64 62 60 57 54 51 47 43 39 34 29 24 18


69 68 67 66 64 62 60 57 54 51 47 43 39 34 29 24 18 , 17 personen

Hier ben je mee klaar, waarom?

#8

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2012 - 19:00

69 68 67 66 64 62 60 57 54 51 47 43 39 34 29 24 18 , 17 personen

Hier ben je mee klaar, waarom?

69 68 67 66 64 62 60 57 54 51 47 43 39 34 29 24 18 12 6 -1 sorry had het niet volledig

#9

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2012 - 19:07

Voor de leeftijden van de klanten geldt:
LaTeX


Bekijk nu de som van de volgende verschillen:
LaTeX
Deze som zal altijd groter moeten zijn dan een bepaalde waarde (bedenk zelf welke waarde). Dit legt dan het minimale verschil in leeftijd tussen klant 1 en klant 20 vast. Uit dat minimum zal blijken dat het niet kan.

Bij 4)50 zal dit de som van de verschillen zijn

Veranderd door arenaparty2, 02 oktober 2012 - 19:12


#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 06:51

Als er een oplossing is waarbij een verschil maximaal 3 keer voorkomt dan zal de som van de verschillen minstens het volgende zijn:
LaTeX
Dit zijn immers de kleinste verschillen mogelijk zonder dat een verschil meer dan 4 keer voorkomt. Je hebt dus:
LaTeX
dus:
LaTeX
Het leeftijdsverschil tussen de oudste en de jongste zal dus minstens 70 jaar bedragen. Dit mag niet gegeven de randvoorwaarden. Er zal een verschil dus meer dan 3 keer moeten voorkomen.

#11

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 07:53

Als er een oplossing is waarbij een verschil maximaal 3 keer voorkomt dan zal de som van de verschillen minstens het volgende zijn:
LaTeX


Dit zijn immers de kleinste verschillen mogelijk zonder dat een verschil meer dan 4 keer voorkomt. Je hebt dus:
LaTeX
dus:
LaTeX
Het leeftijdsverschil tussen de oudste en de jongste zal dus minstens 70 jaar bedragen. Dit mag niet gegeven de randvoorwaarden. Er zal een verschil dus meer dan 3 keer moeten voorkomen.

Maar er staat dat Jan merkt dat een verschil MINSTENS 4 keer voorkomt

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 08:10

een verschil meer dan 3 keer is gelijk aan een verschil minstens 4 keer...

#13

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 08:22

een verschil meer dan 3 keer is gelijk aan een verschil minstens 4 keer...

Echt bedankt !!!!!!

#14

arenaparty2

    arenaparty2


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 08:45

Gegeven: 20 klanten met als maximum leeftijd 69
Te bewijzen: Een leeftijdsverschil komt minstens 4 keer voor.
Bewijs: Stel dat onze veronderstelling van MINSTENS 4 keer een leeftijdsverschil NIET WAAR is
Dan kunnen we er vanuit gaan dat een leeftijdsverschil maar maximaal 3 keer voorkomt dan krijgen we deze rij die ik al eerder heb gegeven:
69 68 67 66 64 62 60 57 54 51 47 43 39 34 29 24 18 12 6 -1
We hebben dan volgende leeftijdsverschillen: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7
Als we nu die leeftijdsverschillen gaan optellen met elkaar krijgen we als uitkomst 70 als leeftijd wat dus niet kan ( dit kan je ook doen door 69-(-1) te doen wat ook 70 is)
Met andere woorden het klopt niet dat een leeftijdsverschil 3 keer maximaal voorkomt Dus het is bewezen dat het MINSTENS 4 maal moet voorkomen ;D

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 09:09

Dan kunnen we er vanuit gaan dat een leeftijdsverschil maar maximaal 3 keer voorkomt dan krijgen we deze rij die ik al eerder heb gegeven:


Dit is niet goed. Je krijgt niet per se die rij. Elke rij die maximaal 3x hetzelfde verschil bevat is goed. De truuk van 'mijn' bewijs is ook dat het niet gaat over een specifieke rij, maar over alle rijen met een bepaalde eigenschap. Door aan te tonen dat alle rijen niet voldoen aan de gegeven randvoorwaarden kun je in het algemeen aantonen dat een verschil binnen zo'n rij ten minste 4x moet voorkomen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures