Springen naar inhoud

Compositie van functies



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 15:54

Hallo,

Stel LaTeX niet-lege verzamelingen en zij LaTeX een functie.
Bewijs dat LaTeX injectief is, als en alleen als LaTeX impliceert dat LaTeX voor alle functies LaTeX , voor alle verzamelingen LaTeX .

---

Dit bewijs bestaat volgens mij uit twee delen.

(1) Neem aan dat LaTeX injectief is en leidt dan af dat LaTeX impliceert dat LaTeX voor alle functies LaTeX , voor alle verzamelingen LaTeX .

(2) Neem aan dat LaTeX impliceert dat LaTeX voor alle functies LaTeX , voor alle verzamelingen LaTeX en leidt dan af dat LaTeX injectief is.

---

Bewijs:

(1) LaTeX is injectief, dus LaTeX voor alle LaTeX

LaTeX en LaTeX , LaTeX .

Dus als er geldt dat: LaTeX , dan staat dat voor LaTeX
LaTeX en aangezien LaTeX injectief is geldt: LaTeX voor alle LaTeX .
Dus LaTeX

Is dit bewijs goed? En moet ik nog iets doen met het feit dat het voor alle verzamelingen Z moet gelden (ik ging nu gewoon van een verzameling Z uit).

(2) De andere kant op levert mij meer problemen op. Kan ik dan gewoon op dezelfde manier redeneren, maar dan juist de andere kant op?

---

Alvast bedankt voor eventuele hulp.
- Fruitschaal.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 16:05

Je bewijs voor (1) klopt. Het kiezen van een Z is niet erg. Je kiest die willekeurig en niet specifiek.

Ik noteer vanaf nu mu = m, alfa = a etc. Voor (2), stel dus dat m(x) = m(y). Je wilt nu bewijzen dat x = y. Stel nu eens dat je voor Z een singleton {z} kiest. Wat zou je dan voor je functies a en b kunnen nemen als beeld van {z}?

En waarom mag ik voor (2) wél een specifieke Z kiezen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2012 - 20:55

Wat bedoel je met een singleton {z}? Bij 2 mag je een specifieke Z kiezen, omdat je in de aanname al meeneemt dat het voor alle Z geldt. Dus als je verder wilt kun je een willekeurige Z kiezen.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 oktober 2012 - 09:57

Gewoon, dat je verzameling Z uit 1 punt bestaat. Welk punt doet er niet toe. We noemen het gewoon z dat punt. Dus Z = {z}. Dan moeten we nu gewoon zeggen a(z) = ... en b(z) = ... en dan liggen a en b volledig vast (want je moet maar van 1 pnt het beeld zoeken).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Onur89

    Onur89


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2012 - 09:37

Def. LaTeX zoals Drieske het al heeft gezegd: LaTeX en bekijk LaTeX . Omdat je nu LaTeX wil bewijzen, neem je aan dat LaTeX geldt. Dus kun je afleiden dat LaTeX injectief is.




Extra hint: gebruik de contrapositive.

#6

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2012 - 12:56

Bedankt voor de reacties.

Bij (2) geldt dat als LaTeX er moet gelden dat LaTeX voor alle LaTeX .

Stel dus dat LaTeX . Nu moet bewezen worden dat dan LaTeX .

Stel dat LaTeX . Dan geldt dus voor willekeurige functies LaTeX en LaTeX dat LaTeX en LaTeX .
LaTeX .

Gegeven is dat voor LaTeX geldt dat LaTeX . Zij nu LaTeX en LaTeX .

Dat betekent dus dat LaTeX . Per definitie is LaTeX dus injectief.



Het bewijs is nog wat slordig denk ik, maar moet het ongeveer zo?

Veranderd door Fruitschaal, 05 oktober 2012 - 12:58


#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 oktober 2012 - 15:11

Het moet inderdaad ongeveer zo. Je kunt dat allemaal alleen wat rechtstreekser/mooier opschrijven. Waag je die poging?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures