[wiskunde] Compositie van functies

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 524

Compositie van functies

Hallo,

Stel
\(X,Y\)
niet-lege verzamelingen en zij
\(\mu : X \rightarrow Y\)
een functie.

Bewijs dat
\(\mu\)
injectief is, als en alleen als
\(\mu \circ \alpha = \mu \circ \beta\)
impliceert dat
\(\alpha = \beta\)
voor alle functies
\(\alpha, \beta : Z \rightarrow X\)
, voor alle verzamelingen
\(Z\)
.

---

Dit bewijs bestaat volgens mij uit twee delen.

(1) Neem aan dat
\(\mu\)
injectief is en leidt dan af dat
\(\mu \circ \alpha = \mu \circ \beta\)
impliceert dat
\(\alpha = \beta\)
voor alle functies
\(\alpha, \beta : Z \rightarrow X\)
, voor alle verzamelingen
\(Z\)
.

(2) Neem aan dat
\(\mu \circ \alpha = \mu \circ \beta\)
impliceert dat
\(\alpha = \beta\)
voor alle functies
\(\alpha, \beta : Z \rightarrow X\)
, voor alle verzamelingen
\(Z\)
en leidt dan af dat
\(\mu\)
injectief is.

---

Bewijs:

(1)
\(\mu\)
is injectief, dus
\(\mu(x_1) = \mu(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
voor alle
\(x_1,x_2 \in X\)
\((\mu \circ \alpha)(z) = \mu(\alpha(z))\)
en
\((\mu \circ \beta)(z) = \mu(\beta(z))\)
,
\(z \in Z\)
.

Dus als er geldt dat:
\((\mu \circ \alpha)(z) = (\mu \circ \beta)(z)\)
, dan staat dat voor
\(\mu(\alpha(z)) = \mu(\beta(z))\)
\(\alpha(z), \beta(z) \in X\)
en aangezien
\(\mu\)
injectief is geldt:
\(\alpha(z) = \beta(z)\)
voor alle
\(z \in Z\)
.

Dus
\(\alpha = \beta\)
Is dit bewijs goed? En moet ik nog iets doen met het feit dat het voor alle verzamelingen Z moet gelden (ik ging nu gewoon van een verzameling Z uit).

(2) De andere kant op levert mij meer problemen op. Kan ik dan gewoon op dezelfde manier redeneren, maar dan juist de andere kant op?

---

Alvast bedankt voor eventuele hulp.

- Fruitschaal.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Compositie van functies

Je bewijs voor (1) klopt. Het kiezen van een Z is niet erg. Je kiest die willekeurig en niet specifiek.

Ik noteer vanaf nu mu = m, alfa = a etc. Voor (2), stel dus dat m(x) = m(y). Je wilt nu bewijzen dat x = y. Stel nu eens dat je voor Z een singleton {z} kiest. Wat zou je dan voor je functies a en b kunnen nemen als beeld van {z}?

En waarom mag ik voor (2) wél een specifieke Z kiezen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Compositie van functies

Wat bedoel je met een singleton {z}? Bij 2 mag je een specifieke Z kiezen, omdat je in de aanname al meeneemt dat het voor alle Z geldt. Dus als je verder wilt kun je een willekeurige Z kiezen.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Compositie van functies

Gewoon, dat je verzameling Z uit 1 punt bestaat. Welk punt doet er niet toe. We noemen het gewoon z dat punt. Dus Z = {z}. Dan moeten we nu gewoon zeggen a(z) = ... en b(z) = ... en dan liggen a en b volledig vast (want je moet maar van 1 pnt het beeld zoeken).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 3

Re: Compositie van functies

Def.
\(g,h\)
zoals Drieske het al heeft gezegd:
\(\{z\}\overset{g}{\underset{h}{\rightrightarrows}}A \overset{f}{\rightarrow} B\)
en bekijk
\(a,b \in A,\,\,\mbox{met}\,\,g(z)=a\neq b=h(z)\)
. Omdat je nu
\({\bf (2)}\)
wil bewijzen, neem je aan dat
\(f\,:\,A \rightarrowtail \,B\)
geldt. Dus kun je afleiden dat
\(f\)
injectief is.

Extra hint: gebruik de contrapositive.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Compositie van functies

Bedankt voor de reacties.

Bij (2) geldt dat als
\(\mu(x_1) = \mu(x_2)\)
er moet gelden dat
\(x_1 = x_2\)
voor alle
\(x_1,x_2 \in X\)
.

Stel dus dat
\(\mu(x_1) = \mu(x_2)\)
. Nu moet bewezen worden dat dan
\(x_1 = x_2\)
.

Stel dat
\(Z = \{z\}\)
. Dan geldt dus voor willekeurige functies
\(\alpha\)
en
\(\beta\)
dat
\(\alpha(Z) = \alpha(z)\)
en
\(\beta(Z) = \beta(z)\)
.
\(\alpha(z), \beta(z) \in X\)
.

Gegeven is dat voor
\(\mu(\alpha(z)) = \mu(\beta(z))\)
geldt dat
\(\alpha(z) = \beta(z)\)
. Zij nu
\(\alpha(z) = x_1\)
en
\(\beta(z) = x_2\)
.

Dat betekent dus dat
\(\mu(x_1) = \mu(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
. Per definitie is
\(\mu\)
dus injectief.

Het bewijs is nog wat slordig denk ik, maar moet het ongeveer zo?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Compositie van functies

Het moet inderdaad ongeveer zo. Je kunt dat allemaal alleen wat rechtstreekser/mooier opschrijven. Waag je die poging?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer