Hallo,
Stel
\(X,Y\)
niet-lege verzamelingen en zij
\(\mu : X \rightarrow Y\)
een functie.
Bewijs dat
\(\mu\)
injectief is, als en alleen als
\(\mu \circ \alpha = \mu \circ \beta\)
impliceert dat
\(\alpha = \beta\)
voor alle functies
\(\alpha, \beta : Z \rightarrow X\)
, voor alle verzamelingen
\(Z\)
.
---
Dit bewijs bestaat volgens mij uit twee delen.
(1) Neem aan dat
\(\mu\)
injectief is en leidt dan af dat
\(\mu \circ \alpha = \mu \circ \beta\)
impliceert dat
\(\alpha = \beta\)
voor alle functies
\(\alpha, \beta : Z \rightarrow X\)
, voor alle verzamelingen
\(Z\)
.
(2) Neem aan dat
\(\mu \circ \alpha = \mu \circ \beta\)
impliceert dat
\(\alpha = \beta\)
voor alle functies
\(\alpha, \beta : Z \rightarrow X\)
, voor alle verzamelingen
\(Z\)
en leidt dan af dat
\(\mu\)
injectief is.
---
Bewijs:
(1) \(\mu\)
is injectief, dus
\(\mu(x_1) = \mu(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
voor alle
\(x_1,x_2 \in X\)
\((\mu \circ \alpha)(z) = \mu(\alpha(z))\)
en
\((\mu \circ \beta)(z) = \mu(\beta(z))\)
,
\(z \in Z\)
.
Dus als er geldt dat:
\((\mu \circ \alpha)(z) = (\mu \circ \beta)(z)\)
, dan staat dat voor
\(\mu(\alpha(z)) = \mu(\beta(z))\)
\(\alpha(z), \beta(z) \in X\)
en aangezien
\(\mu\)
injectief is geldt:
\(\alpha(z) = \beta(z)\)
voor alle
\(z \in Z\)
.
Dus
\(\alpha = \beta\)
Is dit bewijs goed? En moet ik nog iets doen met het feit dat het voor alle verzamelingen Z moet gelden (ik ging nu gewoon van een verzameling Z uit).
(2) De andere kant op levert mij meer problemen op. Kan ik dan gewoon op dezelfde manier redeneren, maar dan juist de andere kant op?
---
Alvast bedankt voor eventuele hulp.
- Fruitschaal.