[wiskunde] antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-10-'12, 17:14

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Xenion schreef: ↑di 09 okt 2012, 17:05
Het is absurd omdat je voorbeeld geen context heeft. Je symbolen betekenen niks. Ik kan hier ook neerzetten dat 2p+t=3, maar zonder een verhaaltje daarrrond zegt dat niet veel.
Dat is inderdaad correct.
Xenion schreef: ↑di 09 okt 2012, 17:05
Je kan pas stellen dat -cd/5b een nulpunt is als de veelterm bij x gelijk aan die waarde ALTIJD naar 0 evalueert. Onafhankelijk van de gekozen (a,b,c,d).
kunnen we hier op doorgaan?

als ik -cd/5b invul, dan krijg je
\( \frac {cd(5ab - cd)(cd + 5b)}{25b^2}\)
Hoe kan je hiervan zeggen dat het niet naar 0 evalueert zonder het over de waarden van ab b c en d te hebben?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 09-10-'12, 17:56

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Omdat de letters niet tegen elkaar wegvallen. De verste vereenvoudiging die je kan maken verschilt van 0.
Omhoog

Bericht 09-10-'12, 18:13

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Xenion schreef: ↑di 09 okt 2012, 17:56
Omdat de letters niet tegen elkaar wegvallen. De verste vereenvoudiging die je kan maken verschilt van 0.
ok.
---WAF!---
Omhoog

Bericht 09-10-'12, 22:11

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

bedankt voor jullie reacties, ik ben weer wat slimmer geworden, althans dat hoop ik...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 09-10-'12, 22:22

eezacque

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Zo zie je maar weer wat een mottige vraagstelling teweeg kan brengen: een niet eens zo heel moeilijke vraag is goed voor een discussie met 19 bijdragen...
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 12:21

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Eerlijk gezegd vind ik niet dat die vraagstelling zo mottig is. Ze zegt, in mijn ogen, wat er bedoeld wordt. Maar we staan steeds open voor verbeteringen. Zou het in jouw ogen helpen als we er van maken: "... is steeds een nulpunt"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 13:29

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Ik vind de vraag ook niet 'mottig', TS werkt ze gewoon fout uit.

Wat er fout gaat:

Originele veelterm:
\(5b\cdot x^3 + 5ab\cdot x^2 + cd\cdot x + acd\)
Invullen van x = -cd/5b om te controleren of het een nulpunt is:
\(a\left(\frac{b^3\cdot c^2\cdot d^2}{5} + c\cdot d\right) - \frac{b^4\cdot c^3\cdot d^3}{25} - \frac{b\cdot c^2\cdot d^2}{5}\)
TS ziet dat dit niet gelijk is aan 0, dus stelt het gelijk aan 0 en probeert bijhorende waarden van (a,b,c,d) te vinden.

Een algemene oplossing wordt gegeven door bijvoorbeeld:
\(a = \frac{b\cdot c\cdot d}{5}\)
Maar dan heb je eigenlijk een parameter uit de veelterm weggehaald. De nieuwe veelterm wordt dan:
\(5 b\cdot x^3 + b^2c d\cdot x^2 + c d\cdot x + \frac{b c^2 d^2}{5}\)
En als je daar x = -cd/5b invult dan zal je zien dat dit wel 0 wordt.

Wat ik wél slecht vind is de notatie van dat nulpunt:

-cd/5b wordt waarschijnlijk bedoeld als (-cd)/(5b), maar eigenlijk staat er ((-cd)/5)*b en zo is het ook door mijn wiskundeprogramma geïnterpreteerd in de berekeningen hierboven.
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 17:07

eezacque

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Laat me de vraag vereenvoudigen, om in te zien wat er fout is:

Vraag:
Kies een willekeurig getal x.
Is x gelijk aan 1?
Antwoorden:

Ja. Hiermee is bewezen dat alle getallen gelijk zijn aan 1.

Nee. Hiermee is bewezen dat alle getallen ongelijk zijn aan 1.

Beide antwoorden hebben een ongewenste consequentie.

Daarmee is de vraagstelling mottig.
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 19:29

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

1) Ik vind jouw voorbeeld eerlijk gezegd niet echt hetzelfde, maar goed.

2) Wat vind je van mijn alternatief voorstel?

3) Andere vraag (in verkorte versie):
Beschouw f(x) = ax² + bx + c (zonder beperking op a,b,c). Welke uitspraak klopt niet?
1) De grafiek is een rechte.
2) De functie f heeft 2 nulpunten.
Wat zou jij dan antwoorden (op een test)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 19:37

eezacque

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Ik ben niet enthousiast over je alternatief, vanwege het vage 'steeds', wat logisch gezien niet gedefinieerd is.

De kern van het probleem is dat je niet altijd een eigenschap kunt bewijzen/weerleggen over een willekeurig gekozen element. In eerste orde predicaatlogica is dit netjes uitgeschreven in semantiek, en je vindt het terug in afleidingssystemen. Ik heb mijn voorbeeld gereduceerd tot de naakte essentie.

Wat betreft je andere vraag (in verkorte versie), kun je geen uitspraak doen over 1) en 2). Als ik deze vraag op een test kreeg, dan zou ik de docent verzoeken deze vraag niet mee te rekenen.
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 19:53

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Nu ben je aan het overdrijven. Iedereen weet in deze context waarop "steeds" betrekking heeft. Namelijk: eender welke waarde je voor a, b en c kiest, deze eigenschap blijft gelden. Waarom zou je dat dan vervolgens niet kunnen nagaan?

En over mijn vraag, akkoord, die vraag zo op een test gaat niet. Maar het gaat nu even over ideeën. Als je het woord "steeds" toevoegt, lost het hier veel problemen op. Dat zou mijn punt zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 20:09

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Zelfde uitleg, maar op een eenvoudiger voorbeeld:

Beschouw de veelterm-functie f(x) = (x-a)*(x-b) + c.

Juist of fout? a en b zijn nulpunten van deze veelterm

Als je volgens redenering van TS werkt dan kan je zeggen, juist want c kan gelijk zijn aan 0.

Je elimineert parameter c uit de opgave en komt met een nieuwe veelterm g(x) = (x-a)*(x-b) en daarvan zijn a en b duidelijk wel nulpunten.

Als je bij al je wiskunde opgaven de opgave gaat aanpassen naar jouw zin, dan ga je niet ver komen...
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 23:30

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Xenion schreef: ↑wo 10 okt 2012, 20:09
f(x) = (x-a)*(x-b) + c.

Juist of fout? a en b zijn nulpunten van deze veelterm

Als je volgens redenering van TS werkt dan kan je zeggen, juist want c kan gelijk zijn aan 0.
Nee dat is niet echt wat ik heb gezegd. Vooreerst was de vraag negatief gesteld: "Is dit fout?". Mijn antwoord daarop was dat dit niet zo was voor alle waarden van c, omdat voor bepaalde waarden van c de bewering wel juist kan zijn.

En dat is toch een enigszins andere versie dan wat jij schrijft, dat wou ik gewoon even rechtzetten.

PS Ik heb inderdaad de (-cd)/(5b) interpretatie gebruikt omdat ik veronderstelde -zoals je zelf zegt- dat dit waarschijnlijk wel de bedoeling was, en niet met jouw -trouwens correcte- interpretatie (-cd/5)b
---WAF!---
Omhoog

Bericht 10-10-'12, 23:52

eezacque

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Drieske schreef: ↑wo 10 okt 2012, 19:53
Nu ben je aan het overdrijven. Iedereen weet in deze context waarop "steeds" betrekking heeft. Namelijk: eender welke waarde je voor a, b en c kiest, deze eigenschap blijft gelden. Waarom zou je dat dan vervolgens niet kunnen nagaan?


Voor mij verwijst 'steeds' naar het feit dat iets in de tijd onveranderd blijft, en dat is hier niet aan de orde. Op het moment dat jij de vraag stelt, liggen je a,b en c al vast, daar valt niet meer aan te tornen.
Omhoog

Bericht 11-10-'12, 06:25

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: antwoord lijkt niet te kloppen - tegenvoorbeeld

Westy schreef: ↑wo 10 okt 2012, 23:30
Nee dat is niet echt wat ik heb gezegd. Vooreerst was de vraag negatief gesteld: "Is dit fout?". Mijn antwoord daarop was dat dit niet zo was voor alle waarden van c, omdat voor bepaalde waarden van c de bewering wel juist kan zijn.

En dat is toch een enigszins andere versie dan wat jij schrijft, dat wou ik gewoon even rechtzetten.
Je hebt gelijk. Mijn excuses, ik mag jou geen woorden in de mond leggen om iemand anders iets proberen duidelijk te maken :)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”