Springen naar inhoud

Vragen rondom equivalentieklassen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 17:37

Fruitschaal, gefeliciteerd !!
Deze topic is door de gebruikers van Wetenschapsforum genomineerd als




Geplaatste afbeelding HEERLIJK HUISWERKTOPIC



Hopelijk kunnen jullie me helpen met onderstaande vragen.

---

(1) Zij LaTeX een relatie op LaTeX gegeven door:
LaTeX .

Toon aan dat dit een equivalentierelatie is.

De relatie is een equivalentierelatie als het reflexief, symmetrisch en transitief is.

Reflexief:
LaTeX
Dit klopt, dus reflexief.


Symmetrisch:
LaTeX moet gelden.

LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dus symmetrisch.


Transitief:
LaTeX

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dus transitief.


Klopt deze manier van aantonen?


(2) Maak een schets van LaTeX en geef in die schets de equivalentieklassen van LaTeX aan.

Een schets van LaTeX lijkt me een assenstelsel zonder de negatieve assen? De equivalentieklasse van een punt LaTeX :
LaTeX

Hoe geef ik dan de equivalentieklassen aan in de schets?

---

Alvast bedankt voor eventuele hulp!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 17:45

Klopt deze manier van aantonen?

Die klopt ja :). Soms wat meer woorden gebruiken, zou mogen, maar voor de uitwerking is dat niet essentieel.

Een schets van LaTeX

lijkt me een assenstelsel zonder de negatieve assen?

Bijna. Dat is eigenlijk een soort van "gepunt" rooster. Bijv. de hoekpunten van ruitjes op een geruit blad (maar dan uiteraard oneindig doorlopend) met (0, 0) in de linkeronderhoek.

De equivalentieklasse van een punt LaTeX

:
LaTeX

Hoe geef ik dan de equivalentieklassen aan in de schets?

Herschrijf eens naar y = ... x + ... Klinkt zoiets bekend?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 17:59

Bijna. Dat is eigenlijk een soort van "gepunt" rooster. Bijv. de hoekpunten van ruitjes op een geruit blad (maar dan uiteraard oneindig doorlopend) met (0, 0) in de linkeronderhoek.

Oké, maar dan moet toch (1,1) in de linkeronderhoek?

Herschrijf eens naar y = ... x + ... Klinkt zoiets bekend?

Oh, y = x + b - a. Dus dat is gewoon een lineair verband. Het is een stijgende lijn die de y-as (x = 1) snijdt als y = 1 + b - a?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 18:04

Oké, maar dan moet toch (1,1) in de linkeronderhoek?

Dat hangt er maar vanaf of in jouw definitie 0 in N zit of net niet :).

Oh, y = x + b - a. Dus dat is gewoon een lineair verband. Het is een stijgende lijn die de y-as (x = 1) snijdt als y = 1 + b - a?

Inderdaad een lineair verband (en stijgende lijn). Ik merk wel net op dat eigenlijk a en b je veranderlijken zijn. Maar dat maakt voor de essentie niet uit.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 19:18

Volgens deze docent zit 0 er niet in, dus vandaar.

Oh, ik maak er dan wel de equivalentieklasse van [a,b] zijn, zodat de lijn y = x + b - a is.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 19:45

Okee :). Dan is inderdaad het punt (1, 1) de linkeronderhoek. En kun je dan nu de klassen beschrijven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 19:55

Het tekenen van een lijn y = x + b - a in dat gepunte rooster is dus niet voldoende?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 19:57

Jawel, maar je begrijpt dat het dus de doorsnede is van die lijn met dat rooster?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 20:05

Ja, want de equivalentieklasse [a,b] bevat punten (x,y) die voldoen aan y = x + b - a. Moet ik het dan in de schets enkel voor een willekeurige [a,b] aangeven (dus één lijn tekenen) of voor alle?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 20:11

Voor alle is gewoon onmogelijk. Je hebt nu eenmaal oneindig veel lijnen. En je moet dan nog wel opmerken dat (x, y) ook in N x N zit. Want ook niet-gehele getallen gaan voldoen aan die vergelijking.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 20:43

Ja, alle getallen zijn positief en geheel. Er moet dus sowieso gelden dat x + b - a > 0.

(3) Toon aan dat de binaire operatie optelling LaTeX op LaTeX gegeven door
LaTeX
goed gedefinieerd is. Beschrijf de klasse LaTeX (uniek) zodat LaTeX voor alle LaTeX .


Hoe toon ik aan of een binaire operatie goed gedefinieerd is?

Veranderd door Fruitschaal, 10 oktober 2012 - 20:43


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 21:42

Ja, alle getallen zijn positief en geheel. Er moet dus sowieso gelden dat x + b - a > 0.

En dat het een geheel getal is.

Hoe toon ik aan of een binaire operatie goed gedefinieerd is?

In het algemeen (dus niet alleen voor een binaire operatie): je moet nagaan dat je operatie niet afhangt van je keuze van representanten. Met andere woorden, stel dat je je representant (x1, y1) vervangt door (a, b) (dus (a, b) beschrijft dezelfde klasse), dan moet je uitkomst hetzelfde blijven. Snap je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Onur89

    Onur89


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2012 - 21:58

*Toon aan dat de binaire operatie optelling goed gedefinieerd is.*

HINT: Stel LaTeX en LaTeX , bewijs dat LaTeX

LaTeX

*Unieke klasse LaTeX *

HINT: Als LaTeX , dan LaTeX voor alle LaTeX . Dus we moeten een LaTeX kiezen die equivalent is aan een klasse in LaTeX zodat:

LaTeX

Edit: Drieske was net iets eerder. :)

Veranderd door Onur89, 10 oktober 2012 - 22:05


#14

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 17:48

Allereerst bedankt voor de prijs die ik gekregen heb! Zoiets had ik helemaal niet verwacht :)
Beide weer bedankt voor de reacties.

In het algemeen (dus niet alleen voor een binaire operatie): je moet nagaan dat je operatie niet afhangt van je keuze van representanten. Met andere woorden, stel dat je je representant (x1, y1) vervangt door (a, b) (dus (a, b) beschrijft dezelfde klasse), dan moet je uitkomst hetzelfde blijven. Snap je?

*Toon aan dat de binaire operatie optelling goed gedefinieerd is.* HINT: Stel LaTeX

en LaTeX , bewijs dat LaTeX

Dat lijkt me niet zo lastig.
LaTeX
LaTeX , want dat is aangenomen.
LaTeX .

Dat betekent dat LaTeX , dus de optelling hangt niet af van de keuze van representanten.
Zo?


*Unieke klasse LaTeX

* HINT: Als LaTeX , dan LaTeX voor alle LaTeX . Dus we moeten een LaTeX kiezen die equivalent is aan een klasse in LaTeX zodat: LaTeX

Mijn eerste reactie zou zijn dat LaTeX , maar ik weet dat er nu sprake is van equivalentieklassen.

LaTeX
LaTeX
Er moet gelden dat dat gelijk is aan LaTeX . Dus dan moet gelden dat LaTeX ? Deze a is dus uniek. Maar het probleem is dat (0,0) niet in N x N zit, want 0 is zoals eerder aangenomen geen natuurlijk getal. Hoe moet het dan?

#15

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 18:31

Oh, nog de laatste vervolgvraag:

(4) Creëer een bijectie LaTeX zodat voor alle LaTeX geldt
LaTeX
Bewijs dat dit een bijectie is en dat de optelling geldt.

De functie moet dus een geheel getal afbeelden op de verzameling van equivalentieklassen. Ik denk dan aan bijvoorbeeld: LaTeX . Het probleem is dan wel dat bijvoorbeeld LaTeX en dat lijkt me niet de bedoeling, want in het beeld moeten enkel natuurlijke getallen.

Veranderd door Fruitschaal, 14 oktober 2012 - 18:32







Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures