\( R \)
( reele getallen ) met een punt \( \{ p \} \in R \)
te Bewijzen : Laat zien dat
\( \{ p \} \)
een gesloten set is .Bewijs:
Mijn idee was nu om te laten zien dat
\( R - \{ p \} \)
een open set is, dat betekent dat:\( \forall q \in R - \{ p \} : \exists B_{\epsilon}(q) \subseteq R - \{ p \} \)
In woorden, voor elk getal q op \( R \)
kunnen we een 'omgeving' vinden (met afstand kleiner dan epsilon ten opzichte van dit getal q) zodanig dat deze omgeving in \( R - {p} \)
ligt.Zo'n dergelijke omgeving kunnen we altijd vinden, want als we epsilon (de maximale afstand ten opzichte van q) kleiner kiezen dan afstand tussen een willekeurig gekozen q en de betreffende p, dan voldoen we hier altijd aan. Oftewel:
Kies
\( \epsilon = d(q,p) / 3 \)
.In dit geval heeft elke
\( q \)
in \( R - \{ p \} \)
een 'omgeving' die weer in \( R - \{ p \} \)
ligt.Maar dit betekent dat
\( R - \{ p \} \)
een open set is, en een gevolgtrekking is dat \( \{ p \} \)
gesloten is.Klopt dit bewijs een beetje, of sla ik de plank volledig mis?
