[wiskunde] Uniciteit neutraal element - bewijs

lucca

Te bewijzen : In de vector ruimte, het neutrale element (0) is uniek.

Allereerst, uniek, betekent dat er hiervan slechts één is? Ik heb een volgend bewijs uit een bundel: (en deze begrijp ik niet volledig)

Veronderstel dat er een

\( w \in V \)

zodanig dat

\( v + w = v\)

voor elke v uit V. Als we laten zien dat w=0, dan weten we dat het uniek is. Ik zie dit niet zo 1,2,3.

Er is misschien een andere waarde uit V, zeg k, die ook voldoet aan v + k = v. Ik begrijp (denk ik) wel dat als w=0 is voor alle v, dat het uniek is omdat het voor alle v geldt, maar ik zie niet in waarom dit dan ook direct het enige element zou zijn die deze eigenschap heeft.... die k zit dan bijvoorbeeld ook in V, en k + w = w, maar dan ook w + k = w (want k=0)

oei, waar gaat het fout?

bvd,

Drieske

Je pakt het wel al ongeveer juist aan, hoor. Allereerst: uniek betekent dat er 1 en juist 1 vector, genoteerd met 0, bestaat die voldoet aan v + 0 = v. Let wel: het is een notatie. De 0 is uiteraard suggestief, maar misschien meteen ook misleidend.

Wat je dus moet bewijzen: stel dat, naast 0 (of als je liever w noteert), nog een vector, zeg z bestaat met de eigenschap dat voor alle v we hebben: v + z = v = z + v. Bewijs dan dat z = 0 (of dus z = w). Je was daarmee redelijk bezig. Helpt dit?

lucca

zoiets in woorden omschreven als:

elke waarde, zeg k,w, g, h of wie dan ook, die voldoet aan v + k/w/g/h = v, impliceert dat deze waarde gelijk moet zijn aan 0. dat betekent dus niet dat er meerdere waardes 0 zijn, maar dat als ik een waarde heb die daaraan voldoet, het de waarde 0 is...

beetje goed zo? (nu nog netjes opschrijven)

dus eigenlijk zeg je, stel h = 0 and g = 0, dan g = h = 0 dus 0 is nog steeds uniek? dus nu is 0 meer het element dat een uniek karakter heeft en niet zo zeer de letter die bij 0 hoort.. want als je een letter hebt ongelijk aan die 0, dan geldt het unieke niet..

Drieske

Nee, niet goed... Je moet bewijzen dat als w en z twee vectoren zijn waarvoor geldt v + w/z = v = w/z + v, dan w = z.

Hint: bekijk bovenstaande gelijkheid (w = z), begin links (met w), buit dan uit dat z een eigenschap heeft en dan dat w diezelfde eigenschap heeft. Dan bekom je normaal w = z.

lucca

hmm.. ok. ik ga het proberen. ik heb hier een bewijs liggen dat geen gebruik maakt van andere 'vectoren'die dan gelijk zouden moeten zijn (dat is waar het op neer komt, toch)

ik snap deze dan ook niet, hopelijk kun je helpen :

veronderstel dat er een w uit V bestaat zodanig dat v + w = v voor elke v uit V. Om te bewijzen dat het neutrale element 0, uniek is, moeten we laten zien dat w = 0.

Hier gaat het al mis.. in mijn optiek bewijs je misschien wel dat w=0, maar niet dat er geen ander iets kan zijn, dat ook nul is, fout of goed? (zoja,/nee kun je dat dan uitleggen?)

zij zeggen dan ":

w + 0 = w ( definitie van 0)

0 = w = 0 (hypthoese van w)

dan op basis van commutativiteit volgt w + 0 = 0 + w and thus w = 0...

hopelijk kun je hiermee helpen, want ik zie niet in dat w uniek is... wel dat het 0 is, maar niet uniek t.o.v. van k.

Drieske

Je grootste probleem is de verwarring die ontstaat uit het symbool 0 dat wordt gebruikt. Laten we dat dus even weg gooien en opnieuw beginnen. Om te beginnen moet je begrijpen dat voldoende is om te bewijzen dat als er w en z elementen in V zijn voor beiden geldt v + w = v = w + v en v + z = v = z + v, dan moet w = z.

Dat is inderdaad voldoende, want stel nu dat y een derde element zou zijn dat ook geldt: v + y = v = y + v, dan weten we dat (via bovenstaande) w = y en y = z, dus w = y = z. En dat kun je zo blijven verderzetten.

Als we nu het eerste dus kunnen bewijzen (dus dat w = z), dan weten we dat er dus een uniek element is zodat v + w = v = w + v. Vanaf nu, wegens uniciteit, gaan we daar een symbool voor reserveren: namelijk 0.

Maar er rest ons nu nog te bewijzen dat w = z. We gaan dit doen door te gebruiken wat we weten: w = w + z (want z heeft de eigenschap) = z (want w heeft de eigenschap). Begrijp je dit?

lucca

ok drieske,

(1) het unieke, is dat nu een element dat niks -toevoegt- aan de vergelijking in zekere zin? Want als ik nog een ander element zou hebben, dat dat zou kunnen, dan doet dit element exact hetzelfde (namelijk niks toevoegen) en dus hebben we het over hetzelfde element. En dit element noemen we dus 0.

begint dit ergens op te lijken?

Drieske

Uniek betekent gewoon dat er exact één element is (in je vectorruimte) dat voldoet aan die welbepaalde eigenschap. Eens we getoond hebben dat er zo'n uniek element is (maw, elk ander element met dezelfde eigenschap is aan dat gelijk), gaan we dat met 0 aanduiden.

lucca

ok ter controle :

uniek : er is slechts één element in de ruimte die een specifieke handeling uitvoert

bewijs : laat x dit element zijn, en laat y ook dit element zijn, dan moet volgen dan x = y.

Hieruit volgt dan dan er maar een element kan zijn dat -dat- kan. alhoewel dat ook wel weer vreemd is, omdat x,y wel twee elementen zijn.. (maar ze zijn geen verschillende elementen, want ze zijn er in principe maar ''een. ik suggereerde alleen, stel er is nog een andere, dan moet ie gelijk zijn aan x, dus dan heb je geen twee elementen maar één. omdat y -niet- bestaat ofja, gewoon x is.

Drieske

Duidelijk (of zo komt het over) worstel je ergens nog met die uniek. Welk stuk? Dat je uitgaat van 2 elementen (bijv. w en z) met dezelfde eigenschap en dan bewijst dat ze eigenlijk hetzelfde zijn?

lucca

we zeiden net : stel x heeft een bepaalde eigenschap en die is uniek. dan moet een ander element, dat ook die eigenschap draagt gelijk zijn aan het element x. Nu lijkt het toch alsof er 2 elementen zijn met die eigenschap. Maar ik veronderstelde dat er een ander element zou zijn, maar dat is er eigenlijk niet, want er is alleen maar het element zelf. en als ik het ''definieer' dan is het dus x zelf. stomweg x = y.

Dus hopelijk is het duidelijk wat ik probeerde te zeggen, ik dacht zo . x is uniek dus je hebt maar één x, en y is bijv. hetzelfde dus dan is y = x. maar dan heb je eigenlijk x en y, als hetzelfde, maar x is één element en y is één element. maar dat is natuurlijk fout, want y is geen nieuw element maar het element x. Nu is uniciteit denk ik wel duidelijk bij me?

Drieske

Het komt daar inderdaad wel ongeveer op neer. Het betekent vooral dat je zeker bent dat nooit geldt v + w = v tenzij w = 0 (waarbij ik nu dan wel al de 0 gebruik voor het unieke element).

Maar begrijp je nu dan ook hoe je bewijst dat die 0 uniek is?

lucca

Ok, dit verheldert :

als v + w = v, dan is w enorm uniek. want stel dat je (en dan kun je jouw bewijs met x = y geven).

Dus we weten eigenlijk dat, als er een w is waarvoor geldt v + w = w, dan is die w uniek. als we nu ook nog inzien dat 0 (we introduceren nu 0) hetzelfde doet als die w, dan is w = 0 of beter gezegd, 0 = w, en daaruit volgt dat 0 wel uniek moet zijn! en dat bewijzen kan door gebruik te maken van :

v + w = v , dus : 0 + w = 0 (want w is uniek)

w + 0 = w (eigenschap van 0)

maar dan volgt w + 0 = 0 + w dus w = 0.

zoiets ?

samengevat :

v + w = v dus w = uniek (kan nooit voorkomen, behalve als w er niks aan toevoeg (maar dan verklappen we het al een beetje... maar zeggen we nog niet dat dat 0 ''heet'')

ik wil 0 = uniek maken. dus w = 0 bewijzen!.

Drieske

Ongeveer, maar je uitleg is niet steeds even duidelijk. Goed, we weten dus dat v + 0 = v = 0 + v. We stellen nu dat er een element w bestaat zodat ook v + w = v = w + v. We moeten dan bewijzen dat 0 = w. Waarom doe je vanaf dan zo ingewikkeld? Bekijk gewoon dit: w = w + 0 = 0. Bij de eerste "=" heb ik gebruikt dat 0 een neutraal element is (dus v = v + 0), bij de tweede "=" dat w dat ook is (dus w + v = v).

lucca

sorry voor de late reactie.

Ik gebruikte de misschie wat -omslachtige- methode, omdat ik graag het bewijs dat ik voor me heb liggen wil -nabootsen- (en zij gebruiken deze methode).

Zij starten met :

stel er bestaat een w uit V zodat : v + w = v voor elke v uit V. Dan weet je dat deze w uniek is. (want als er nog een tweede element zou zijn die deze eigenschap heeft, dan is deze dezelfde eigenschap). oftewel :

w is uniek

nu kennen we de volgende eigenschap van 0

0 + v = v

als we nu laten zien dat w gelijk is aan 0, dan is 0 uniek (en dat is hetgeen we willen bewijzen).

we weten dat w + 0 = w (eigenschap van 0)

en weten ook dat v + w = v, dus in het bijzonder dat (voor v=0) 0 + w = 0,

dus w + 0 = 0 + w, en we wisten dat:

w + 0 = w

en

0 + w = 0

dus dan is w = 0.

Zo klopt het toch wel Drieske? (hartelijk dank ook voor de genomen moeite)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Uniciteit neutraal element - bewijs

Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs

Re: Uniciteit neutraal element - bewijs