Springen naar inhoud

deelruimte



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 14:30

"Beschouw in R³ de deelverzameling D = {(1, 0, 0), (1, 0, 2)}. Toon aan dat de kleinste deelruimte van R³ waar D in zit gegeven is door {(x, 0, y) | x, y ∈ R}."

Het is vrij triviaal om dit grafisch in te zien; mijn vraag is echter hoe ik dit best proper kan aantonen ?

Dus:

We zoeken de kleinste deelruimte van R³ waar D deel van uit maakt, dit kan bijgevolg een rechte door de oorsprong, een vlak door de oorsprong of de gehele ruimte R³ zijn.

Het is triviaal dat deze twee punten niet beide op dezelfde rechte door de oorsprong liggen. Nu kunnen we controleren of we een vlak door de oorsprong vinden waar deze twee punten deel van uitmaken (uiteraard zal dit het geval zijn).

Cartesiaanse vergelijking vlak:

ax + by + cz + d = 0

Aangezien het vlak door de oorsprong moet gaan weten we dat d = 0.

En nu dan gewoon het stelsel oplossen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 15:02

Eenvoudiger, en algemeen werkend, is om iets dergelijks aan te tonen volgende 2 stappen doorlopen:
  • Toon aan dat je voorstel als kleinste deelruimte inderdaad een deelruimte is waartoe je D behoort.
  • Toon aan dat er geen kleinere kan zijn (klassiek doe je dit uit het ongerijmde: stel er is een kleinere).
Lukt dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 19:24

Dus we beginnen door te zeggen dat:

1. We veronderstellen hier dat we ervan mogen uitgaan dat D effectief een deelruimte is. Nu is het eenvoudig om aan te tonen dat p1 (1, 0, 0) en p2 (1, 0, 2) tot D = {(x, 0, y) | x,y ∈ R} behoren; nl. vr x = 1, y = 0 en x = 1, y = 2.

2. Veronderstel dat er nog een kleinere deelruimte dan D is waartoe deze punten behoren, noem dit D'. De enige mogelijke kleinere deelruimte dan een vlak is in dit geval een rechte door de oorsprong.

We stellen de rechte op die door het punt p1 gaat en het punt p2.
...

Is het tot dusver correct ? Of moet ik het ander aanpakken ?
En dan nu misschien een té eenvoudige vraag, maar hoe stel ik de vergelijking voor een rechte door de ruimte het eenvoudigst op ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 20:15

Neem de algemene vergelijking voor een rechte en vul je gegeven punten in...

Maar hier is dat niet eens nodig: je weet dat je rechte ook nog door (0, 0, 0) moet gaan. Dat vereenvoudigt de zaak toch?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2012 - 10:48

Dan krijg je gewoon
a.1 + b.0 + c.0 = 0
a.0 + b.0 + c.0 = 0

?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 oktober 2012 - 13:03

Neenee, ik bedoel dat je je nu eigenlijk afvraagt of er een rechte zou zijn die door de oorsprong én je twee andere punten gaat.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 12:12

Die is er (duidelijk) niet, maar hoe toon je dit aan ? >.<
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 12:49

Je kunt het je alvast makkelijker te maken door op te merken dat (1, 0, 0) en (1, 0, 2) zich in het xz-vlak bevinden (dus y=0).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 13:18

Aha, en dan kan je eventueel werken met R² i.p.v. R³ en stellen dat, wanneer je via

LaTeX

de vergelijking voor de rechte door bv. p1 en (0, 0) opstelt, deze punten zich niet allemaal op 1 rechte bevinden en bijgevolg kan men geen vectorrechte opstellen als kleinste deelruimte.

Hierdoor is dan aangetoond dat het vectorvlak (x, 0, y) effectief de kleinste deelruimte voortgebracht door D is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 14:21

Inderdaad. Het feit dat ze in een makkelijk vlak liggen, bespaart je hier dus vrij "veel" werk :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 15:03

Daarmee is dus eigenlijk alles aangetoond ?
En wat als deze nu niet in 1 vlak vielen ? Hoe moest je het dan oplossen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 15:16

Dan moet je werken met de algemene vergelijking voor een rechte in 3D. Je vindt daar veel over via Google. Maar als je die uitleg niet snapt, geef je het maar aan :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures