Springen naar inhoud

intersectie vectorruimte



  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 15:47

Zij vectorruimte LaTeX en een (deel)vectorruimte LaTeX

we hebben hier te maken met geheel R^3 en een vlak.

De intersectie op beide is dus het vlak weer. Mijn punt is nu het volgende, ik moet laten zien dat de intersectie ook weer een deelruimte is. Mijn vraag is nu eerst de volgende, is het mogelijk dat beide ruimtes iets van elkaar afsnoepen als ik de intersectie pak?

Ok, dit klinkt misschien gek, maar wat ik bedoel is het volgende :

stel ik heb (1,2,3) en (2,3,4) als ik de intersectie van beide pak, dan snoep ik 1 weg van de ene, en 4 van de ander. Oftewel ik snoep van beide -iets- weg.

Is het met ruimtes zo, dat ik van beide iets weg kan snoepen? Of houd ik -in principe- altijd de kleinste ruimte (in inhoeverre dat juist geformuleerd is) over?

Want, als dat de zaak is, dan weet je inderdaad dat de intersectie ook weer een deelruimte is, namelijk die kleinste deelruimte. Ik hoor het graag!

*antwoord : ja, stel ik heb alleen de x - as als deelruimte en de y - as als deelruimte, dan houd ik alleen {0} over, en is snoep dus van beide iets weg. Ok. maar dan nu proberen te bewijzen.

Ruimte X en Y, Als ik de intersectie pak, en ik weet dat daar iets in zit (sowieso {0}), en stel dat er ook nog twee andere elementen zijn, zeg z en w, dan weet je:

z + w zit in X (want z,x zitten in X, dus dan zit z+w in X, want X is gesloten t.o.v. additie).
Maar z,w zitten ook in Y , dus z + w moet ook in Y zitten (omdat Y gesloten is voor additie).

denk ik dan nu eigenlijk die hele ruimte af, zodat hij ook gesloten is?

Ik zie hele tijd venn diagrammen voor me, maar dat is fout, ik weet het, maar mijn voorbeeld met R^2 en R^3 is ook niet algemeen...

Veranderd door lucca, 12 oktober 2012 - 15:56


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 15:57

Voorbeeld: rechten door de oorsprong zijn deelruimtes van R³; wat is de intersectie van twee (verschillende) rechten die allebei door de oorsprong gaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 16:04

Je toevoegingen zag ik te laat; je wil dit nu blijkbaar (in het algemeen?) bewijzen.

Als V en W deelruimten zijn van een vectorruimte, dan zijn V en W niet-leeg en gesloten onder het nemen van lineaire combinaties (sommen en veelvouden blijven binnen V en W). Er rest je dan aan te tonen dat dit ook geldt voor elementen van hun doorsnede: niet alleen sommen, ook veelvouden (en niet-leeg zijn).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 16:11

ja ik heb hier een bewijs dat zegt:

intersectie is niet leeg (je hebt sowieso {o}). stel je hebt twee vectoren in je intersectie, dan weet ik dat hij ten opzichte van V zijn optelling en vermenigvuldiging erft in V. en dat doet hij ook voor Y. maar dan doet hij dat in zijn hele intersectie? is dat het idee?

dus met een voorbeeld, pak twee vlakken die elkaar loodrecht kruisen bij {0} dus een + teken vormen als je er van bovenaf op kijkt, dan zeg je, ok de intersectie, daar zitten wel 2 vectoren is. En ik weet dat ik die 2 vectoren kan opstellen en vermenigvuldigen in het eerste vlak en dit geldt dus ook voor het ander vlak. maar waarom geldt nu dat dit geldt in de intersectie?

Veranderd door lucca, 12 oktober 2012 - 16:14


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 16:17

Ik kan je verhaal maar moeilijk volgen, het is wat vaag. Ik dacht dat je net niet met voorbeelden (of 'meetkundig') wou redeneren, maar het in het algemeen bewijzen?

Neem vectoren x en y in de intersectie van deelruimten V en W van een gegeven vectorruimte. Aangezien x en y in de interesectie zitten, zitten ze zowel in V als in W. Aangezien V en W deelruimten zijn, zit de som v+w in V en ook in W. Aangezien v+w dus in beide deelruimten zit, zit het ook in hun...

Scalaire veelvouden kan je op analoge wijze nagaan en 'niet-leeg' heb je al.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 16:24

omdat ze in beide deelruimte zitten, zitten ze ook in de intersectie, en moeten zij gesloten zijn tov optelling.

Maar :

stel je hebt v,w in de intersectie. dan zit v + w in V, maar ook in W. dus dan moet v + w wel in de intersectie zitten. bij mij ging het mis, want ik dacht : v + w zou best buiten V of W kunnen liggen. maar we zeggen net, v + w zit in V, maar v + w zit ook in W, dus v + w zit in V EN W, dus intersectie. en omdat v + w eigenschap is van optelling, voldoe je dus al aan 1 vd eigenschappen. Vermenigvuldingen gaat denk ik analoog toch? k * v zit in V maar k * vook in W, dus k * v in intersectie, dus klaar?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 16:26

Klopt: dat v+w en k.v in V (resp. W) zitten, volgt uit het feit dat V en W zélf deelruimten zijn. Maar omdat zowel sommen als veelvouden binnen V én W blijven, blijven sommen en veelvouden uit hun doorsnede (intersectie), ook binnen de doorsnede. Inderdaad klaar, want {0} zit er sowieso in.

Het geldt niet voor de unie...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 16:47

zou je zoiets kunnen zeggen als, de vectoren die ik verkijg door de intersectie vormen een dusdanig opspansel dat ze niet verder komen danv de intersectie. m.a.w. door de intersectie van W met V knikker ik (misschien) een paar onafhankelijke vectoren weg? :-)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures