Springen naar inhoud

Laplace Transfer Function - region of convergence


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2012 - 22:53

Goedendag,

De output van een linear time-invariant strictly causal differential system met initial condition x(0) = 0 wordt gegeven door:

LaTeX

Wanneer we de Laplace transform nemen, krijgen we:

LaTeX

met LaTeX .
Hierin moet de hoofdletter 'L' de Laplace transform voorstellen.

Nu geldt dat: LaTeX

En dus:
LaTeX

LaTeX is convergent alleen wanneer Re{s} > max Re{LaTeX }.
Waarin LaTeX de eigenwaarden van matrix A zijn.

Een voorbeeldje:

Stel:

LaTeX

Dan geldt:
LaTeX

alleen wanneer s > 3.

Stel nu dat:

LaTeX en LaTeX

Dan verkrijgen we de volgende transfer matrix (of beter gezegd de transfer function):

LaTeX

De polen van een transfer function zijn de waarden voor s waarvoor H naar oneindig gaat, voor deze TF zou dit s = 2 moeten zijn.

H is echter alleen gedefinieerd voor s > 3, in dit geval zouden er dan toch geen polen moeten zijn?
Oftewel, voor het bepalen van de polen, waarom "vergeten" we dan opeens dat het bereik van H (de region of convergence) niet het volledige complexe vlak is (uitgezonderd van een beperkt aantal punten)?

Alvast bedankt.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 oktober 2012 - 11:56

Interessante vraag, ik had er zelf nog nooit bij stilgestaan.
Ik vind het volgende:
"...Obviously all poles are outside the ROC..."
(bron)

Klinkt wel ergens logisch: voor alle s in de Region of Convergence convergeert de Laplace integraal. LaTeX kan in dat gebied dus nooit bereikt worden.

#3

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2012 - 12:37

Dat klopt inderdaad.

Voor het bepalen van de poles (en zeros) van de transfer function moet je dus blijkbaar het gehele complexe vlak als domein hanteren voor je TF, ondanks het feit dat de Region of Convergence van de TF maar een beperkt gedeelte is van het complexe vlak. Dan vind ik het toch raar dat bij alle definities van poles die ik ben tegengekomen in de boeken, dit niet duidelijk vermeld wordt.

Een vergelijkbare situatie:
Als je de functie f(x) = x+1 met domein alle x > 0 hebt, dan is x = -1 toch ook geen nulpunt van deze functie (incl. bijbehorend domein)? x = -1 wordt pas een nulpunt van f(x) wanneer je voor het domein een gebied selecteert die ten minst x = -1 omvat.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 oktober 2012 - 12:43

Ik begrijp wat je wil zeggen, maar ik vermoed dat het vooral met de mentaliteit van het vakgebied te maken heeft. Jij zit waarschijnlijk ook in een ingenieursopleiding? Daar wordt al eens afgeweken van de zuivere wiskunde. Zolang er niks mis gaat denk ik niet dat er veel naar convergentie voorwaarden gekeken wordt :P

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 10:46

H is echter alleen gedefinieerd voor s > 3, in dit geval zouden er dan toch geen polen moeten zijn?

Met s>3 zijn er toch ook geen polen.

Het punt is dat je oorspronkelijke vergelijking een samenstelling is van twee functies. De twee functies hebben elk een eigen ROC. De meest restrictieve van de twee bepaald het gedrag van de samenstelling.
Nu kies jij met je keuze van C en B om een van de functies volledig buiten beschouwing te laten. Dat de ROC dan opeens anders lijkt is niet zo gek (aangezien je de meest restrictieve functie weglaat).

Jij zit waarschijnlijk ook in een ingenieursopleiding? Daar wordt al eens afgeweken van de zuivere wiskunde.

Dat mag ik toch hopen van niet. Er worden misschien soms wat 'shortcuts' genomen, misschien wat randvoorwaarden niet genoemd, maar als hetzelfde niet met zuivere wiskunde te doen is, is het onzin.

#6

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2012 - 11:25

Bedankt voor de reacties.

Ik begrijp wat je wil zeggen, maar ik vermoed dat het vooral met de mentaliteit van het vakgebied te maken heeft. Jij zit waarschijnlijk ook in een ingenieursopleiding? Daar wordt al eens afgeweken van de zuivere wiskunde. Zolang er niks mis gaat denk ik niet dat er veel naar convergentie voorwaarden gekeken wordt :P

Ik volg inderdaad een ingenieursopleiding, maar dit vak (Mathematical Systems Theory) volg ik aan de Faculteit Wiskunde.

Met s>3 zijn er toch ook geen polen.

Het punt is dat je oorspronkelijke vergelijking een samenstelling is van twee functies. De twee functies hebben elk een eigen ROC. De meest restrictieve van de twee bepaald het gedrag van de samenstelling.
Nu kies jij met je keuze van C en B om een van de functies volledig buiten beschouwing te laten. Dat de ROC dan opeens anders lijkt is niet zo gek (aangezien je de meest restrictieve functie weglaat).

Dat klopt inderdaad. Maar waar het mij om ging is dat bij de definities die ik van polen ben tegengekomen, niet duidelijk wordt gemaakt dat het gehele complexe vlak als domein beschouwd dient te worden (uiteraard met uitzondering van de polen zelf).
Impliciet is dit misschien wel logisch, omdat je TF anders nooit polen zou hebben wanneer je zoektocht binnen de ROC beperkt blijft.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures