Veronderstel de volgende twee operaties in
\( R^2 \)
\( x + y = (x_1 +y_1, x_2) \)
\( \alpha x = (\alpha x_1 , \alpha x_2) \)
Is deze
\( R^2 \)
een vectorruimte t.o.v. deze operaties.
antwoord, ik denk nee, want :
Definieer
\( x = (x_1,x_2), y = (y_1, y_2) \)
Volgens proposities geldt:
\( \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y \)
\( \alpha (x + y) = \alpha (x_1,x_2) + \alpha ( y_1,y_2) \)
Maar, volgens onze operaties geldt:
\( \alpha (x + y) = \alpha (x_1+y_1,x_2) = (\alpha (x_1+y_1), \alpha x_2). \)
Dit is niet gelijk dus is geen vectorruimte. Is dit zo afdoende?
En zou ik ook gebruik kunnen maken van :
\( x + y = y + x \)
als propositie want dan geldt:
\( x + y = (x_1+y_1,x_2) \)
\( y + x = (y_1+x_1,y_2) \)
Deze zijn niet gelijk, dus klaar. Is dit een andere optie?