Springen naar inhoud

Lineair onafhankelijke orthogonale vectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2005 - 19:39

Hallo,

Geplaatste afbeelding

Dat de coeificienten nul moeten zijn begrijp ik wel maar waarom volgt dat inprodukt tussen welke 2 vectoren neemt men het in produkt? Die zin Neem het inwendig produkt ...
Vanaf daar gaat het mis Waarom??

Groeten. dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2005 - 20:03

Wat je wilt laten zien is dat voor de relatie

a1*e1 + a2*e2 + ... + an*en = 0

de enige oplossing is: a1 = a2 = ... = an = 0 (de triviale oplossing), want dan en slechts dan zijn de vectoren e1, e2, ... , en immers lineair onafhankelijk.

Je neemt daartoe het inproduct met een van de vectoren, kies er gewoon een, zeg ek, dan is

<a1*e1 + a2*e2 + ... + an*en,ek> =

a1*<e1,ek> + a2*<e2,ek> + ... ak*<ek,ek> + ... + an*<en,ek> = ak*<ek,ek>

De eerste gelijkheid volgt uit de definitie van een inproduct op een vectorruimte. De tweede gelijkheid volgt uit het feit dat alle vectoren loodrecht op elkaar staan, dus <ei,ej> = 0 voor alle i ongelijk aan j. Wat dus overblijft is: ak*<ek,ek>.

Omdat ek ongelijk is aan de nulvector, is <ek,ek> ongelijk aan 0. Dus dan moet ak = 0 perse. Omdat we zomaar een vector hadden gekozen (hier dus ek) bij het nemen van het inproduct, geldt dus voor de coefficienten dat: ai = 0 (voor alle i).

#3

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2005 - 20:14

Oh ja, je neemt neemt het inproduct natuurlijk zowel links als rechts, dus anderzijds iwas ook <0,ek> = 0. Dus er staat

ak*<ek,ek> = <0,ek> = 0

Waaruit dus volgt dat ak = 0.

N.B. Afhankelijk van de definitie is je inproduct in het complexe geval lineair in de 1e component of lineair in de 2e component, d.w.z.

<a*x,y> = a*<x,y> respectievelijk <x,a*y> = a*<x,y>





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures