Wetenschapsforum

Stelling

Een vector deelruimte W (van V) is zelf een vector ruimte, m.a.w. deze voldoet aan de operaties van optelling en scalaire vermenigvuldiging.

Bewijs:

Laat , gezien .

Dan volgt dat .

Dan draagt x alle eigenschappen van V, oftewel de vector ruimte eigenschappen. Maar dan volgt dit voor elk willekeurig punt x uit W. Dus W is ook een vectorruimte.

Is dit een sluitend bewijs?

Neen. Je wilt echt dat x+y in W zit. Hoe weet je dat, met de eigenschappen van V? Begin eens met je definitie van een (vector) deelruimte van V...

Een deelruimte W van V is een vector deelruimte als het gesloten is t.o.v. optelling en scalaire vermenigvuldiging.

Dus, zij W een vector deelruimte, dan is deze gesloten t.o.v. optelling en scalaire vermenigvuldiging. Dus zij een x,y in W, dan x + y is ook in W (optelling). Het is ook gesloten t.o.v. scalaire vermenigvuldiging, dus zij alfa uit R en x uit W, dan alfa * x ook in W. Maar dit is de definitie om een vectorruimte te zijn.

Zo beter?

Het is inderdaad gewoon per definitie eigenlijk zo. Maar natuurlijk heeft een vectorruimte meer axioma's dan enkel deze twee. Hier ga je weer wel moeten gebruiken dat W in V ligt.

maar in feite is het nu dus niet voldoende om te zeggen dat W een vectorruimte is indien alfa * v + beta * w in W ligt, want dan beschouw je het als een vector deelruimte?

Is het nu niet genoeg om te zeggen dat x,y in W, dus ook in V, en omdat W gesloten is, moeten de overige eigenschappen ook wel voldoen (omdat we hebben laten zien dat optelling en verm .kloppen?)

Je moet aantonen dat het een vectorruimte is. Wanneer is iets een vectorruimte? Je hebt daar 8 (als ik het mij juist herinner) axioma's voor te controleren. Dat moet je hier dus doen.

maar je krijgt dan voor elk axioma het volgende :

bewijs axioma (1)

x + y = y + x

Pak een x,y uit W. Deze x en y zitten ook in V, dus dragen de eigenschappen van V. En daarvoor geldt (omdat het een vectorruimte is) x + y = y + x.

Dit kun je natuurlijk voor elk axioma herhalen. Zo dek ik toch af?

Ja, het idee is wel altijd ongeveer hetzelfde uiteraard . En is zeker ook niet moeilijk. Maar laat ik er twee uitkiezen: bewijs het bestaan van een neutraal element en een invers element.

(axioma)

gezien W deelset is van V, ligt w ook in V. maar dan weten wel dat w + 0 = w omdat V een vectorruimte is. dus geldt het ook in W.

Of moet ik zeggen :

omdat het deel vectorruimte is bevat W sowieso 0. Laat c in W zitten, dan c + 0 = c. We weten dat v + c = v, dan c is uniek, dat is ook een vector deelruimte W het geval. Dus, laat zien dat c = 0. Omdat:

c + 0 = c (eigenschap 0) en 0 + c = 0 , dus c= 0. dus neutraal element bestaat.

Is dit tweede dan 'veiliger'of ook fout?

Je moet sowieso eerst opmerken dat 0 in W zit. Maar waarom is dat? Eens je dat hebt, hoeft die omweg via uniciteit niet echt.

maar dat volgt omdat een vectorruimte voldoet aan alfa x + beta y in W, dus sowieso 0 in W. Deze zit ook in V, want W deel van V, dus gedraagt zich hetzelfde. zoiets?

Ik snap niet wat je nu bedoelt, maar: je weet dat 0w in W zit en je weet ook dat 0w = 0 en dus is 0 in W. En dus ben je klaar. Zie je dat?