Springen naar inhoud

supnorm



  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 11:16

Gegevens

Zij R^4 met een supnorm. En veronderstel een functionaal T : R^4 -> R^4.

Verder :\


T(x) = (x1,0,0,0) voor alle x uit R^4.

Toon aan:

T is ''bounded''

Aantoning

Geldt nu altijd, of het nu supnorm is of wat dan ook dat:

LaTeX


Dus die 2 en 1? dus dan geldt:

LaTeX ?

maar dan K = 1 voldoet.

Of moet ik zeggen:

LaTeX

omdat we spreken over de supnorm? (ik vermoed het eerste, hoop het ook). Kan iemand mij uit de brand helpen?

Veranderd door lucca, 21 oktober 2012 - 11:24


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 15:15

Hoe bedoel je dat nu? Je werkt met de supnorm, dus wat heeft de 2- (of 1-) norm hiermee te zien? Je moet bewijzen dat als T: X->Y dan ||T(x)||Y <= K ||x||X waar we met ||.||Y bedoelen de norm die er op Y ligt en met ||.||X de norm de er op X ligt. Nu is X=Y=R^4 en op beiden leg je dezelfde norm.

Begrijp je nu dat je 1 en 2 er niets mee te maken hebben?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 15:26

maar betekent dat, omdat op R^4 de supnorm van toepassing is, je twee keer het oneindig teken krijgt?

m.a.w. : welke norm moet ik er dan opleggen, de supnorm? (dus met dat oneindigteken?)

oorspronkelijk som (om verwarring te voorkomen)

Exercise 4

Consider R4 endowed with the supnorm. Consider the functional
T : R4 -> R4 defined by T (x) = (x1; 0; 0; 0) for all x out R44

(i) Prove that T is bounded.

Veranderd door lucca, 21 oktober 2012 - 15:31


#4

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 15:46

*kon niet meer aanpassen:

Ok, de norm is in dezen de supnorm oftewel:

LaTeX

We weten dat de supnorm gedefinieerd is als max, dus we krijgen nu:

LaTeX

Nu zie je dat T(x) inderdaad ''bounded'' is, voor K =1 of 2 of 3 bijv. Is dit de juiste manier van uitwerken? Of kan ik toch andere normen gebruiken? (nee toch). en in deze norm is || x || max van al die variablen uit R^4. laat even weten of het klopt!

Veranderd door lucca, 21 oktober 2012 - 15:48


#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 16:29

Je moet er inderdaad twee keer de supnorm opleggen. Vooraleer we naar een uitwerking gaan kijken: laat duidelijk zijn waarom dat moet. Dus: is dat nu duidelijk? Zoja, leg het kort uit.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 16:34

We definieren R^4 met de supnorm, we hebben R4 op R4, dus supnorm op supnorm (maar dan welk omgedraaid) maar goed dat geeft hetzelfde. En nu moet je dus die definitie van max gebruiken toch?

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 16:36

Wat bedoel je met "omgedraaid"? En je moet nu inderdaad de definitie gebruiken van je supnorm :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 16:42

omgedraaid, we hadden V1 -> V2, dan krijg je T(X)_2 K ||x||_1 dus eigenlijk draai je ze om.

En die definitie is dus als volgt:

we hebben T(X) = (x1,0,0,0)

we pakken nu LaTeX (dat wordt dus willekeurig groot)

Maar, we hebben aan de andere kant : || x ||, en die heeft ook een supnorm, dus:

LaTeX (is dus in wezen maximum van x1,x2,x3,x4), maar dat wordt ook willekeurig groot.

het mooie is dan dat ze beide even hard groeien, dus ik kan het begrenzen met K = 1.

M.a.w. stel T(x) = (1/2 x_1, 0,0,0) dan K = 1/2 is genoeg?

PS. Als je ergens denkt dat het beter kan, hoor dat graag, dan begrijp ik het waarschijnlijk ook beter...

Veranderd door lucca, 21 oktober 2012 - 16:43


#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 16:51

Hmm, ja, ik snap wat je ermee bedoelt, maar echt exact is dat niet hè ;). En je idee is weer okee wel, maar ook weer niet volledig juist neergeschreven. Laten we beginnen met de definitie van de supnorm. Merk op: een norm is altijd een getal, en geen vector. Dus zaken als max(x1, 0, 0, 0) is zeker niet je norm.

Algemeen: als x = (x1, ..., xn) dan is LaTeX . Kun je het nu oplossen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 16:56

LaTeX

LaTeX

m.a.w. :

LaTeX

Dit is waar voor K = 1. (gegeven dat x_1 >=0 btw ;-) )

Stel LaTeX

dan zou K = 1/3 voldoen toch? :-)

PS. Stel we hadden de euclidische norm gehad i.p.v supnorm, dan had het gekund met de wortel (en x'en gekwadrateerd)

Veranderd door lucca, 21 oktober 2012 - 17:00


#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 17:13

Op het feit na dat er absolute waarden ontbreken: prima.

En andere normen geven inderdaad gelijkaardige ideetjes :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2012 - 17:57

Top, dus stel he was niet de supnorm geweest maar LaTeX ((voor V1) en LaTeX (voor V2)
dan hadden we gekregen :

LaTeX

Gelukkig voldoet het hier ook voor K = 1 (toch? :-) )

Veranderd door lucca, 21 oktober 2012 - 17:59


#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 oktober 2012 - 09:25

Het zou wat vreemd zijn om deze normen te kiezen, maar het klopt wel ja ;).

PS: is dat (in beide gevallen) ook meteen de kleinste K die hieraan voldoet?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures