Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
"Noteer voor a ∈ R met ea de functie:
ea: R -> R: x |-> ea(x) = eax
Merk op dat ea∈ Coo(R ); voor alle a ∈ R.
Beschouw nu a,b ∈ R met a ≠ b. We tonen aan dat {ea, eb} een vrij deel is van Coo(R ). Veronderstel dat
K.ea + L.eb = 0 (met K, L ∈ R). (1)
Dan is K.eax + L.xbx = 0 voor alle x ∈ R. In het bijzonder, neem x = 0, vinden we dat K + L = 0. Door (1) a te leiden vinden we dat K.e'a + L.e'b = 0. Dus is a.k.eax + b.L.ebx = 0 voor alle x ∈ R. In het bijzonder, neem weer x = 0, vinden we dat a.K + b.L = 0. We verkrijgen dus volgend stelsel voor K en L:
K + L = 0
a.K + b.L = 0
vermits
det
\( \begin{pmatrix} 1 1 \\ a b \end{pmatrix} \)
= b - a ≠ 0
heeft dit stelsel enkel de nuloplossing."
Zou iemand mij hier wat meer uitleg over kunnen geven ? Ik snap dat we in de vectorruimte zitten van functies met oneindig veel afgeleiden; maar waarom mogen we dan de afgeleiden van {e
a, e
b} gebruiken om te bewijzen dat dit stelsel lineair onafhankelijk is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Je eist dat f(x) + g(x) = 0 voor alle x. Dan moet in het bijzonder toch ook f'(x) + g'(x) = 0' = 0 gelden (ook voor alle x). Ik snap niet goed waar je probleem precies ligt. Waarom dat helpt of waarom dat mag? Is dit al een antwoord op je vraag?
Overigens, misschien druk je je gewoon slecht ui, maar "het stelsel is lineair onafhankelijk" is natuurlijk geen correcte uitspraak
.
-
- Berichten: 1.201
Ik snap wel waarom ze het doen, en waarom het helpt; maar mag dit zomaar ? Of is dat enkel omdat we werken in Coo(R ) ?
Ja, daar had ik me wel slecht uitgedrukt precies; het is correcter om te zeggen dat D = {ea, eb} een lineair onafhankelijk (vrij) deel is, niet ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Waarom zou het niet mogen? Met andere woorden: waar denk jij dat er wat misloopt? En uiteraard is C-oneindig niet echt nodig. Het was voldoende om eenmaal afleidbaar te zijn. Maar dat zit in C-oneindig vervat
.
Overigens, iets wat vrij triviaal is, maar om aan te tonen dat ze een vrij deel zijn in C-oneindig, moet je natuurlijk eerst aantonen dat ze in C-oneindig zitten. Dat is in je cursus misschien ook gebeurd (ergens eerder)?
En zo druk je je inderdaad beter uit.
-
- Berichten: 1.201
Ja, ik weet niet; is moeilijk uit te leggen. Ik vind het gewoon een beetje raar dat ze op deze manier bewijzen dat ze met deze vectoren enkel de nulvector bekomen wanneer de coëfficiënten nul zijn.
Ik denk niet dat dat al effectief gebeurd is, maar hier gewoon eerder veronderstelt wordt. Hoe zou je dat trouwens moeten bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Ik persoonlijk zou met inductie een formule voor de afgeleide bewijzen. Die is vrij rechttoe rechtaan, en het bewijst meteen dat je functie C-oneindig is.
En misschien zie je het beter in door er een echt argument uit het ongerijmde (of met contradictie dus) van te maken. Dan zie je, denk ik, goed waarom het werkt. Dus begin eens met: stel dat A en B niet beiden 0 zijn.
-
- Berichten: 1.201
Wacht ik ben u even kwijt hier.
Drieske schreef: ↑zo 28 okt 2012, 11:31
Ik persoonlijk zou met inductie een formule voor de afgeleide bewijzen. Die is vrij rechttoe rechtaan, en het bewijst meteen dat je functie C-oneindig is.
En misschien zie je het beter in door er een echt argument uit het ongerijmde (of met contradictie dus) van te maken. Dan zie je, denk ik, goed waarom het werkt. Dus begin eens met: stel dat A en B niet beiden 0 zijn.
Het eerste deel slaat toch gewoon op 'hoe te bewijzen dat e
a hiertoe behoort' ?
Het tweede deel van uw antwoord draait terug om het oorspronkelijke probleem ? Maar wat bedoel je dan met A en B ? De eigenlijk K en L uit mijn topic#1 ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Sorry, ja, ik bedoel je K en L
. En het eerste deel was inderdaad een antwoord op "hoe bewijs je dat e
a hiertoe behoort". Maar als je op dat wilt doorvragen, zullen we dat doen nadat je eerste vraag is opgelost?
-
- Berichten: 1.201
Dus dan nu gaan we verder met het stukje:
K + L = 0
a.K + b.L = 0
En gaan we via het ongerijmde bewijzen dat K en L wel degelijk nul moeten zijn ?
Stel dat K en L niet beiden gelijk zijn aan nul, per constructie dat K ≠ 0; dan is
K = -L ≠ 0
a.K = -b.L
a.k = -b.(-K)
a.k = b.k
a = b
In het begin hebben we gesteld dat dit niet mag, dus verkrijgen we hier een contradictie.
Bedoel je dit ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Maar ben je dan nu wel akkoord dat het afleiden mag? Want alleen dan kan je "tot dat stukje" komen hè...
-
- Berichten: 1.201
Ja, ergens begint het wel lichtjes allemaal door te dringen dat het mag; maar het blijft een beetje raar dat je de afgeleiden van deze functies mag gebruiken om te stellen dat deze functies een vrij deel zijn. Maar goed, het is hier ook een kwestie van het een beetje 'aan te nemen' of niet ? (Wat ik niet zo graag zomaar doe
)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Het is geen kwestie van aannemen hoor. Je hebt een gelijkheid van functies. Deze gelijkheid moet dan toch blijven gelden na het nemen van afgeleiden?
-
- Berichten: 1.201
Ja, dat is wel een feit.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Dus ben je het er nu mee eens dat afleiden mag? Dat je het hier doet (en soms niet), is uiteraard een kwestie van ervaring opdoen.
-
- Berichten: 1.201
Ja, ben het er volledig mee eens nu.
Bedankt Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
