Springen naar inhoud

Bewijs (lang) verband aantal elementen tussen vrije en voortbrengende delen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 11:36

"Zij F een vrij en G een voortbrengend deel van een vectorruimte (R, V, +). Dan is #F ≤ #G.

Bewijs:


We kunnen meteen al het geval waarbij F = ∅ buiten beschouwing laten want daarvoor is de propositie trivialerwijze voldaan.

We geven een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat #G < #F. Merk op dat het geval waarbij #F = 1 onmiddellijk kan afgehandeld worden. Immer dan zou G = ∅ en omdat G voortbrengend is, zou V = {0}. Daarom moet ook F = {0} maar dit is strijdig vermits {0} geen vrij deel is. Veronderstel dus dat G = {v1, v2, ..., vm} met m ≥ 1. Kies n verschillende vectoren uit F met n > m (bv. n = m + 1) en noem ze e1, e2, ..., en. We tonen aan dat F niet vrij kan zijn. Daarvoor volstaat het te argumenteren dat er A1, ..., An ∈ R bestaan, niet allen nu, zo dat

LaTeX . (1)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vermits G voortbrengend is kunnen we elk element van F schrijven als lineaire combinatie van de elementen van G. Dit betekent dat er een (n x m)-matrix A = (ai,j) bestaat zo dat voor alle i = 1, ..., n geldt dat

LaTeX .

Bijgevolg is

LaTeX .

Als we Ai's willen vinden die aan (1) voldoen, dan volstaat het dat we Ai's vinden die voldoen aan

LaTeX voor alle j = 1, ..., m.

Dit betekent dat (A1, A2, ..., An) oplossing moet zijn van het stelsel

At LaTeX .

At heeft m rijen. Daarom is rang(A) ≤ m < n. Het aantal vrijheidsgraden in de oplossing van het stelsel is dus n - rang(A) ≥ n - m ≥ 1. Bijgevolg heeft het stelsel niet-nul oplossing en daarom is F niet vrij."

Tot aan de ----- snap ik het bewijs volledig, maar vanaf dan ben ik op sommige vlakken niet mee. Is er iemand die mij hier wat meer uitleg over kan/wil geven ? :D

Veranderd door Biesmansss, 28 oktober 2012 - 11:38

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 11:37

We willen je wel helpen, maar op welke stukken loop je vast? Begrijp je bijvoorbeeld de eerste zin na de streep nog?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 11:41

Ja, ik begrijp dat omdat G voortbrengend is, we elke vector uit F als een combinatie van de elementen uit G kunnen schrijven ((ai,j) is toch een matrix met i rijen en j kolommen, correct ?); en ik denk dat ze dit met deze matrix willen weergeven, ik zie echter niet goed hoe dat in zijn werk zit.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 11:53

Wel, bekijk het omgekeerd: je weet dat elke ei valt te schrijven als een lineaire combinatie van (alle) vj. Bijv: e1 = a1 v1 + ... + am vm. Maar ook: en = b1 v1 + ... + bm vm. Je gaat nu natuurlijk niet voor alles nieuwe letters gebruiken, en vereenvoudigt je notatie tot: ei = ai1 v1 + ... + aim vm. En deze getallen zet je nu in een matrix. Helpt dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 14:57

Ha, ja! :D
Nu is duidelijk hoe deze matrix in elkaar zit.
Maar dan... Hoe komen ze aan die getransponeerde matrix ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:17

Wel, eigenlijk hetzelfde, maar nu kijk je er omgekeerd naar. Je houdt j vast, dat is dus een kolom in je oorspronkelijke matrix, en doorloopt dan alle n rijen. Misschien kun je het eens gewoon opschrijven wat er gebeurt voor n=3 en m=2 bijv. Normaal zie je het dan mooi. (Zelfs n=2, m=1 ofzo zou al werken normaal.)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:37

LaTeX

Dit is toch gelijk aan:

LaTeX

En dit kunnen we toch schrijven als

LaTeX . LaTeX

Wat gelijk is aan

At . LaTeX

Eerst rij en dan kolom (in de index), dus ik gebruik inderdaad de getransponeerde matrix. :D
Dan is het enige wat ik niet goed zie, dit van de rang(A) en het aantal vrijheidsgraden. Als je dit nog even snel zou willen uitleggen (indien dat gaat) ?

Veranderd door Biesmansss, 28 oktober 2012 - 15:45

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:41

Euhm, ben je het ermee eens dat op de eerste plaats (in de index) we de rijnummer zetten? Dus a12 is het element in de eerste rij en de tweede kolom...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:43

Euhm, ben je het ermee eens dat op de eerste plaats (in de index) we de rijnummer zetten? Dus a12 is het element in de eerste rij en de tweede kolom...


Ja, ik had het zelf al door dat ik me vergist had. :D
Heb dit dan ook al aangepast in bericht #7.

Met:

Dan is het enige wat ik niet goed zie, dit van de rang(A) en het aantal vrijheidsgraden. Als je dit nog even snel zou willen uitleggen (indien dat gaat) ?

Veranderd door Biesmansss, 28 oktober 2012 - 15:45

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:51

Aha, dat had ik gemist :). Begrijp je dat rang(A) <= m?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:53

Wat was de rang weer juist ?
Het aantal niet nulrijen in een rijgereduceerde matrix ?
Dus waarom zou deze kleiner dan of gelijk zijn aan m ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 oktober 2012 - 15:56

Wel, een matrix en zijn getransponeerde hebben gelijke rang (dat zie je gemakkelijk door te gebruiken dat kolom- en rijrang gelijk zijn). Helpt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2012 - 12:40

Goh, ja dat zegt me wel vaag wat.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 november 2012 - 13:41

Ik weet natuurlijk niet exact in welke volgorde je wat ziet. Je kunt altijd eens hier kijken. Maar ben je er, met deze aanname, uit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures