[wiskunde] Volledige ruimtes

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 28-10-'12, 22:50

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Volledige ruimtes

(1) Bewijs dat, als er een
\(r > 0\)
bestaat zodat voor alle
\(y \in Y\)
(
\((Y,d)\)
een metrische ruimte) de deelruimte
\(B_d(y,r)\)
volledig is,
\(Y\)
volledig is.[/b]

---

Laat
\(B_d(y,r)\)
volledig zijn, dan convergeert elke Cauchyrij in
\(B_d(y,r)\)
naar een punt in
\(B_d(y,r)\)
, toch? Ik heb nu de algemene definitie gebruikt en aangepast aan deze situatie.

Een rij
\(\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\)
van punten in
\(B_d(y,r)\)
is een Cauchyrij als er voor elke
\(\epsilon > 0\)
er een
\(N \in \mathbb{N}\)
bestaat zodat als
\(m\)
en
\(n\)
gehele getallen groter dan
\(N\)
zijn, dan
\(d(y_n,y_m) < \epsilon\)
Een eigenschap van de open ball is dat de afstand van de punten tot
\(y\)
altijd kleiner is dan
\(r\)
. Hier gebruik van maken?

---

Zou iemand me kunnen helpen hiermee? Alvast bedankt!

- Fruitschaal.
Omhoog

Bericht 29-10-'12, 11:41

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Volledige ruimtes

Begin eens gewoon met op te schrijven wat je moet bewijzen. Eens je dat hebt, zal ik proberen aan te geven wat an ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 29-10-'12, 14:13

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

Oké, dat zal ik proberen op te schrijven.

Laat
\(B_d(y,r)\)
volledig zijn, dan convergeert elke Cauchyrij in
\(B_d(y,r)\)
naar een punt in
\(B_d(y,r)\)
. Er moet nu bewezen worden dat als dat het geval is,
\(Y\)
ook volledig is. Kortom, elke Cauchyrij in
\(Y\)
convergeert dan ook naar een punt in
\(Y\)
.
Omhoog

Bericht 29-10-'12, 15:06

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Volledige ruimtes

Inderdaad. Neem dus eens een Cauchyrij (yn)n in Y. Je weet dan dat er een N bestaat zodat... Bekijk nu eens Bd(yN, ...). Zie je waar ik naartoe wil?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 29-10-'12, 22:13

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

Kiezen dat
\(r = \epsilon\)
?
Omhoog

Bericht 29-10-'12, 22:55

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Volledige ruimtes

Dat zeker ja. Maar ook gebruiken wat je weet. Zie je hoe ik daar naartoe werk?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 30-10-'12, 22:24

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

Drieske schreef: ↑ma 29 okt 2012, 15:06
Inderdaad. Neem dus eens een Cauchyrij (yn)n in Y. Je weet dan dat er een N bestaat zodat... Bekijk nu eens Bd(yN, ...). Zie je waar ik naartoe wil?
Je weet dat er voor die Cauchyrij een N bestaat zodat er m en n groter dan N bestaan zodat
\(d(y_n,y_m) < \epsilon\)
.

Kies
\(r = \epsilon\)
, dan
\(B_d(y_N, \epsilon)\)
is een bol met als middelpunt
\(y_N\)
en punten die binnen een straal van
\(\epsilon\)
liggen. Deze
\(y_N\)
ligt in de bol en convergeert dus naar een punt in de bol (want de bol is volledig). De bol is een deelruimte van Y, dus
\(y_N\)
convergeert naar een punt in
\(Y\)
zelf, dus Y is volledig?

Het staat er misschien wat warrig, maar bedoel je het zo?
Omhoog

Bericht 30-10-'12, 22:28

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Volledige ruimtes

Ik bedoel het ongeveer zo, ja. Maar je moet het (veel) beter noteren... Waag eens een nieuwe poging? Dan doe ik verbeteringen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 31-10-'12, 22:14

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

Oké. Ik zal het proberen.

Zij
\(B_d(y,r)\)
een volledige deelruimte van
\(Y\)
. Stel dat
\(\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\)
een Cauchyrij is in
\(B_d\)
. Dan bestaat er een
\(N \in \mathbb{N}\)
zodat voor
\(m,n \in \mathbb{N}\)
groter dan N geldt dat
\(d(y_m,y_n) < \epsilon\)
, voor een zekere
\(\epsilon > 0\)
.

Stel nu dat
\(\epsilon = r\)
.

Laat
\(\{y_N\}_{N=1}^{\infty}\)
een Cauchyrij in
\(Y\)
zijn. Ik ben er trouwens niet niet zeker over of die N vanaf 1 tot oneindig moet lopen, of vanaf N tot oneindig.

Dan is
\(B_d(y_N,r)\)
een volledige deelruimte van Y. Dat betekent dus dat
\(\{y_N\}\)
convergeert naar een punt in de bol, want
\(d(y_m, y_n) < r\)
voor alle
\(m,n > N\)
. Aangezien de bol een deelruimte is van Y, betekent dat ook dat
\(\{y_N\}\)
convergeert naar een punt in Y.

Dit is nu aangetoond voor een willekeurige Cauchyrij in Y. Dat betekent dus dat het voor alle Cauchyrijen in Y gelden. Dus Y is volledig.
Omhoog

Bericht 01-11-'12, 13:43

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Volledige ruimtes

Je N is een vast getal. Dat gebruiken als index die variabel is, is dus echt geen goed idee. Overigens, élke Bd(y, r) is volledig volgens de aanname. Maar let wel: je r is vast. Je hebt daar precies wel aan gedacht (je kiest e en niet r), maar is dat toeval of had je het door?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-11-'12, 19:55

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

Wat moet ik dan voor de index gebruiken?

Ja, ik had dat wel door. Bedoel je nou dat ik in Bd(y,r) r door epsilon moet vervangen voor de duidelijkheid, of maakt dat niet uit?
Omhoog

Bericht 01-11-'12, 19:56

muzikant

Berichten: 17

Re: Volledige ruimtes

Het lijkt mij makkelijker om index m te gebruiken of een andere willekeurige letter die je nog niet hebt gebruikt
Omhoog

Bericht 01-11-'12, 19:58

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

En de index loopt dan van N tot oneindig?
Omhoog

Bericht 01-11-'12, 20:00

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Volledige ruimtes

Fruitschaal schreef: ↑do 01 nov 2012, 19:55
Wat moet ik dan voor de index gebruiken?
zoals gezegd is een andere letter, bijv m, inderdaad beter. En die loopt inderdaad vanaf N.

Ja, ik had dat wel door. Bedoel je nou dat ik in Bd(y,r) r door epsilon moet vervangen voor de duidelijkheid, of maakt dat niet uit?
Nee, dat moet niet. Alleen de volgorde hoe je kiest doet ertoe. En dat doe je juist.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-11-'12, 21:47

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Volledige ruimtes

Oké, bedankt, dan begrijp ik het :)

(2) Bewijs of spreek tegen: Als gegeven is dat voor elke
\(y \in Y\)
geldt dat er een
\(r > 0\)
is, zodat
\(B_d[y,r]\)
volledig[/b] is, dan betekent dat dat
\(Y\)
noodzakelijk zelf volledig is.[/b]

Iets anders dan (1). Daar is bewezen dat er een r bestaat zodat het voor alle y geldt, nu moet aangetoond worden (of met een tegenvoorbeeld tegengesproken worden) dat voor alle y geldt dat er een r is zodat het geldt.

Ik zou zeggen dat Y dan niet volledig hoeft te zijn, maar hoe pak ik dit aan? Weer een willekeurige Cauchyrij in Y pakken?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”