Springen naar inhoud

1/2 + 1/4 + 1/8 + ..


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucilius

    lucilius


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 oktober 2012 - 22:24

Ik kwam volgende vergelijking tegen op het internet.
Ik probeerde ze zelf uit te werken, maar slaag er niet in ze op te lossen:

1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..+ 1/(2^n-1) + 1/(2^n)= [2x(2^n-1)]/(2^n)

Iemand een idee hoe men aan deze oplossing (rechterkant vergelijking) komt.

Als ik in de linkerkant van de vergelijking de noemer 2^n wil krijgen in elke term kom ik aan:

2^n/2^n+ (2^n-1)/2^n + (2^n-2)/2^n +... + 2/(2^n) + 1/(2^n)

Maar ik zie niet in hoe dit gelijk is aan de rechterkant van de vergelijking.

Veranderd door lucilius, 29 oktober 2012 - 22:27


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 29 oktober 2012 - 23:03

Wat is je opleiding? Zit je nog op school? Zo ja, welke klas.

De opgave is een Meetkundige Reeks (MR) en de rechterkant is de formule die de som van de getallen geeft.

Wil je deze somformule zelf afleiden of wil je deze via internet opzoeken en toepassen?

#3

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 29 oktober 2012 - 23:09

Er lijkt een foutje ingeslopen: aan de linkerkant moet 2^n-1 eigenlijk 2^(n-1) zijn, terwijl aan de rechterkant 2^n-1 ook echt 2^n-1 is...

#4

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 00:04

Ik zit even niet op te letten, ik probeer het nog een keer.

Er is een foutje ingeslopen, als ik n=0 invul, dan krijg ik 1=0
Waarschijnlijk komt de laatste 1/(2^n) aan de linkerkant te vervallen?

#5

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 00:04

Als je dit bekijkt:

LaTeX zie je dan in hoe je dit kan schrijven als een oneindige som?

Voor de volgende stap dien je de eerder genoemde meetkundige reeks te beschouwen.
Het afleiden van die som is niet zo moeilijk eigenlijk.

Ben je al ooit bezig geweest met oneindige sommen (=reeksen)?

EDIT: oeps, een beetje te vlug geweest.
Het lijkt erop dat je geen oneindige som maar een gedeeltelijke som wilt uitwerken.
Een tipje beschouw LaTeX met LaTeX . Gewoon uitschrijven en x identificeren in jouw specifiek geval.

Veranderd door JorisL, 30 oktober 2012 - 00:11


#6

lucilius

    lucilius


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 19:25

Als je dit bekijkt:

LaTeX

zie je dan in hoe je dit kan schrijven als een oneindige som?

Voor de volgende stap dien je de eerder genoemde meetkundige reeks te beschouwen.
Het afleiden van die som is niet zo moeilijk eigenlijk.

Ben je al ooit bezig geweest met oneindige sommen (=reeksen)?

EDIT: oeps, een beetje te vlug geweest.
Het lijkt erop dat je geen oneindige som maar een gedeeltelijke som wilt uitwerken.
Een tipje beschouw LaTeX met LaTeX . Gewoon uitschrijven en x identificeren in jouw specifiek geval.


Wat is je opleiding? Zit je nog op school? Zo ja, welke klas.

De opgave is een Meetkundige Reeks (MR) en de rechterkant is de formule die de som van de getallen geeft.

Wil je deze somformule zelf afleiden of wil je deze via internet opzoeken en toepassen?

Ik zit even niet op te letten, ik probeer het nog een keer.

Er is een foutje ingeslopen, als ik n=0 invul, dan krijg ik 1=0
Waarschijnlijk komt de laatste 1/(2^n) aan de linkerkant te vervallen?

Mijn probleem is niet zozeer dat ik ze niet kan oplossen, ik kan ze perfect oplossen (de linkerkant), ik weet dat het een reeks is etc..

Ik kan kom er gewoon niet uit hoe men van de linkerkant aan de rechterkant komt.

Zoals ik al zei: als ik alles op dezelfde noemer zet: 2^n, zie ik niet in hoe men aan die tellen komt van 2 x 2^n-1

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 19:44

Zoals ik al zei: als ik alles op dezelfde noemer zet: 2^n, zie ik niet in hoe men aan die tellen komt van 2 x 2^n-1


Ok (dit eerst), wat is:

LaTeX

Zie je verband met jouw (bovenstaande vraag)?


Verder vroeg ik of je de afleiding van die formule zoekt ... ?

#8

lucilius

    lucilius


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 20:48

Ok (dit eerst), wat is:

LaTeX



Zie je verband met jouw (bovenstaande vraag)?


Verder vroeg ik of je de afleiding van die formule zoekt ... ?


ik zie niet direct in wat 2^7 hiermee te maken heeft


Wat je bedoelt met of ik de afleiding zoek, snap ik niet.

Ik vraag mij gewoon af hoe je van de linkerkant naar de rechterkant komt..
Als ik het probeer, kom ik gewoon niet aan die rechterkant.
Ik kan alles wel op noemer 2^n zetten, maar krijg nooit de rest voor elkaar in de vergelijking.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 20:55

ik zie niet direct in wat 2^7 hiermee te maken heeft


Nee, 2^7 is niet belangrijk, wel hoe je aan die 7 komt.

LaTeX

Is er nu wel verband ... ?


Het blijkt dat je wel de afleiding zoekt. Of laat ik het anders stellen, als je de som-formule zou kennen (die kan je op internet vinden) zou het rechterlid een 'peulenschil' blijken te zijn

#10

lucilius

    lucilius


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 21:09

Nee, 2^7 is niet belangrijk, wel hoe je aan die 7 komt.

LaTeX



Is er nu wel verband ... ?


Het blijkt dat je wel de afleiding zoekt. Of laat ik het anders stellen, als je de som-formule zou kennen (die kan je op internet vinden) zou het rechterlid een 'peulenschil' blijken te zijn


Als ik het rechterlid bekijk, dan komt ik daar 1 uit, en links staat er 1+1 (als je al die helfjes optelt, geeft dat ook 1).


LaTeX , dit snap ik wel, is niks anders dan gewoon 2^n

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 21:44

Als ik het rechterlid bekijk, dan komt ik daar 1 uit, en links staat er 1+1 (als je al die helfjes optelt, geeft dat ook 1).


LaTeX

, dit snap ik wel, is niks anders dan gewoon 2^n


Mooi, je rechterlid is dus niet juist ...

En heb je al naar de somformule gezocht ...

Veranderd door Safe, 30 oktober 2012 - 21:46


#12

lucilius

    lucilius


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 21:57

Mooi, je rechterlid is dus niet juist ...

En heb je al naar de somformule gezocht ...


Het rechterlid is niet juist... ok, dat dacht ik al dus...
Dat was net men probleem, ik kon niet begrijpen hoe ze aan dat rechterlid kwamen.

Het het rechterlid kloppen als je in het linkerlid die 1 wegneemt? (dus enkel 1/2 + 1/4 + .. hebt?)


Heb ik eens bekeken, maar dat zit zeer ver in men geheugen.
(je hebt het toch over de somformule van Gauss?)

Ik zie niet in hoe ik de somformule juist moet toepassen op dit voorbeeld. Het zijn hier geen natuurlijke getallen.

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 oktober 2012 - 22:39

Ik zie niet in hoe ik de somformule juist moet toepassen op dit voorbeeld. Het zijn hier geen natuurlijke getallen.


Dat is ook niet nodig ...
Noteer de somformule en pas deze toe ...

#14

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2012 - 08:51

Iemand een idee hoe men aan deze oplossing (rechterkant vergelijking) komt.

Je zou het volgende kunnen doen: Voor het gemak noem je de som even L:
LaTeX
dan:
LaTeX
Bekijk nu, met de bovenstaande termen:
LaTeX
Aan de rechterkant van deze vergelijking houd je van de eerdere sommen slechts twee termen over. Deze termen kun je makkelijk samen nemen in een breuk.

Wat je ook zou kunnen doen: Ik denk dat je vrij simpel inziet dat het volgende geldt:
LaTeX
Bekijk nu de som L weer. Stel dat je hier de kleinste term bij op zou tellen. Wat zou dat voor gevolgen hebben? De kleinste term plus de kleinste term is gelijk aan de op een na kleinste term. Je kan zo verder beredeneren waaraan dit geheel gelijk is (ik noem het even x). Je weet dan dus:
LaTeX
Hiermee kun je ook makkelijk de breukvorm vinden.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures