Springen naar inhoud

Stochastiek: 4 en 5 klinkers van het alfabet niet naast elkaar



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Lovelace

    Lovelace


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 november 2012 - 14:14

Beste,

voor een huiswerkopgave mijn bijvak Stochastiek moet ik de volgende vraag beantwoorden:

Op hoeveel manieren kun je de letters van het alfabet naast elkaar leggen, zonder dat er vier of vijf klinkers naast elkaar liggen


Ik heb zelf nog nooit kansberekening gehad, en volg dit vak nu als bijvak bij de bachelor wiskunde (zelf doe ik AI). In het boek worden maar weinig voorbeelden gegeven, dus ik weet niet precies hoe ik dit aan moet pakken.

Mijn huidige strategie is om eerst een makkelijkere vraag te nemen, namelijk: wanneer er vijf klinkers naast elkaar liggen?

1. In dat geval zie ik die 5 klinkers als 1 letter, dus totaal permutaties is dan (26 - 5)!.
2. Van die nieuwe letter zijn nog 5! permutaties mogelijk, dus in totaal 21!*5!.
3. Dit haal je af van het totaal mogelijke permutaties van 26 letters (het mocht immers niet voor komen), dus: 26! - 21!*5!

Omdat het hier alleen om de klinkers gaat, ga ik ervanuit dat ik nog steeds mijn superletter van 5 klinkers mag gebruiken voor het beantwoorden van de uiteindelijke vraag. Alleen stap 2 zou dan wijzigen, ik zat zelf te denken aan het volgende:

2.1. Van de 5 letters zijn 5 deelverzamelingen van lengte 4 mogelijk, die ieder weer 4! kunnen permuteren, dus in totaal 5*4! = 5! mogelijkheden.
2.2 Per permutatie van 4 letters, is er nog een extra mogelijkheid, namelijk door de ontbrekende letter achteraan toe te voegen. Bv. 1234 heeft nog 12345.
2.3 Door dit bij alle permutaties te doen, zou je dan (denk ik) alle permutaties van lengte 5 ook hebben. In totaal dus 5!*2

Mijn uiteindelijke antwoord zou dan 26! - 21!*5!*2 zijn.

Is er iemand die met mij mee wil denken, en mij kan zeggen of ik de juiste kant op denk?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 november 2012 - 17:37

1. In dat geval zie ik die 5 klinkers als 1 letter, dus totaal permutaties is dan (26 - 5)!.

Wanneer je je 5 klinkers als een superletter ziet, dan heb je dus 4 letters minder in het alfabet, niet 5.

Verder durf ik niet te stellen of je correct bezig bent. Wanneer je alle combinaties met 4 klinkers naast elkaar hebt, dan heb je tevens ook alle combinaties met 5 klinkers naast elkaar. Maar je moet er wel voor zorgen dat je niet dubbel telt, want bcaeioudfg..yz zou je dubbel kunnen tellen door te stellen dat het het viertal aeio en het viertal eiou bevat. Het lijkt mij dus dat je het beste alle combinaties van 4 klinkers kan bepalen en alle combinaties van 5 klinkers daar van AF moet trekken (om dubbel tellen te compenseren).

#3

Lovelace

    Lovelace


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 november 2012 - 17:48

Wanneer je je 5 klinkers als een superletter ziet, dan heb je dus 4 letters minder in het alfabet, niet 5.

Verder durf ik niet te stellen of je correct bezig bent. Wanneer je alle combinaties met 4 klinkers naast elkaar hebt, dan heb je tevens ook alle combinaties met 5 klinkers naast elkaar. Maar je moet er wel voor zorgen dat je niet dubbel telt, want bcaeioudfg..yz zou je dubbel kunnen tellen door te stellen dat het het viertal aeio en het viertal eiou bevat. Het lijkt mij dus dat je het beste alle combinaties van 4 klinkers kan bepalen en alle combinaties van 5 klinkers daar van AF moet trekken (om dubbel tellen te compenseren).

Eerste punt heb je inderdaad gelijk in, ik moet 22! nemen ipv 21!.

Het tweede ben ik nog niet over uit. Alle combinaties van 4 klinkers zou 4! zijn, als je daar het aantal extra dubbele combinaties van 5 klinkers afhaalt, zou je op een veel te laag aantal komen. Het lijkt me immers dat het aantal dat ik van 26! af moet halen in het geval van 4 en 5 klinkers groter is dan wat ik bij de eerste versie (met alleen 5 klinkers) heb gedaan

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 november 2012 - 18:03

Allereerst, we gaan er toch van uit dat y geen klinker is he?
Dus er zijn slechts 5 klinkers: a,e,i,o,u?

Ik zou een superletter van 4 klinkers nemen. Bepaal het aantal combinaties dat je kan maken met die letter, de overige klinker en de medeklinkers.

Zoals physicalattraction zegt omvatten die combinaties ook die waar de overige klinker voor of na de superletter staat (dus waar er 5 klinkers naast elkaar staan). Die met 5 letters na elkaar moet je dan niet extra apart gaan tellen.

Dan moet je juist nog de 5 mogelijke keuzes voor 'aparte klinker' in beschouwing nemen en de permutaties binnen de superletter.

En dan werk je volgens de complement-regel, zoals je zelf ook in gedachten had.

Tenzij ik iets over het hoofd zie, zou het zo wel moeten kloppen.

#5

Lovelace

    Lovelace


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 november 2012 - 18:14

Allereerst, we gaan er toch van uit dat y geen klinker is he?
Dus er zijn slechts 5 klinkers: a,e,i,o,u?

Dat klopt inderdaad

Dan moet je juist nog de 5 mogelijke keuzes voor 'aparte klinker' in beschouwing nemen



Ik begrijp niet helemaal wat je hiermee bedoelt, zou je dat nog wat kunnen toelichten?

#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 november 2012 - 18:20

Ik begrijp niet helemaal wat je hiermee bedoelt, zou je dat nog wat kunnen toelichten?

Wel ik kan aeio in de superklinker nemen en u apart.
Dan zijn er combinaties mogelijk binnen de superklinker, bv: oaei
Maar ik kan ook de u in de superklinker zetten en de a apart nemen: ueio en a.

Wat ik nu ook wel zie is, dat het dan hetzelfde is als je aeio|u hebt of a|eiou, dus daar moet ook nog rekening mee gehouden worden.

#7

Lovelace

    Lovelace


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 november 2012 - 09:48

Wel ik kan aeio in de superklinker nemen en u apart.
Dan zijn er combinaties mogelijk binnen de superklinker, bv: oaei
Maar ik kan ook de u in de superklinker zetten en de a apart nemen: ueio en a.

Wat ik nu ook wel zie is, dat het dan hetzelfde is als je aeio|u hebt of a|eiou, dus daar moet ook nog rekening mee gehouden worden.


Maar als je dus ervan uitgaat dat je alleen de extra klinker achteraan plaatst, kan zoiets nooit voorkomen, en heb je toch alle volgordes. De volgorde a|eiou wordt, zoals je zelf al aangeeft, al gecovered door aeio|u

#8

Lovelace

    Lovelace


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 november 2012 - 19:29

Ik heb een nieuwe redenering, die in eerste instantie voor mijn gevoel wel klopte, maar ik kom op dezelfde uitkomst uit als het geval van 5 klinkers.. Mijn redenering is als volgt:

Als je alle situaties waarin 4 klinkers naast elkaar liggen weghaalt, heb je meteen ook alle situaties waarin 5 klinkers naast elkaar liggen. Je ziet de vier klinkers naast elkaar als een superletter. Van deze vier klinkers zijn echter meer permutaties mogelijk dan 4!, omdat je ze mag maken uit 5 klinkers.

De vraag is dus: hoeveel permutaties van lengte 4 zijn er mogelijk met 5 letters?
Is gelijk aan 4 uit 5, dus 5*4*3*2 = 5!

Echter, wat er met de laatste overige letter gebeurt is wel degelijk relevant, want a | e u o i == a e u o | i. Van iedere permutatie is er in dit geval dus 1 teveel, namelijk die waarbij de extra letter ervoor geplaatst is (omdat dit wordt opgevangen door een andere permutatie). In totaal zijn dat er dus 5! teveel. Dit moet je nog van het totaal aantal mogelijkheden afhalen:

23!*5! - 5!

Uiteindelijk dus:

26! - (23!*5! - 5!) = 26! - 22!*5! ?????????

#9

Lovelace

    Lovelace


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 november 2012 - 21:02

Uiteindelijk dus:

26! - (23!*5! - 5!) = 26! - 22!*5! ?????????


Dit klopt natuurlijk niet, want 23!*5! - 5! is geen 22!*5!, misschien dat dit dus toch het antwoord is!

#10

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 november 2012 - 22:29

In totaal zijn dat er dus 5! teveel. Dit moet je nog van het totaal aantal mogelijkheden afhalen:

Er zijn er veel meer teveel. Voor elke mogelijkheid van de aparte letter is er 1 teveel, dat is die 5!, maar dat groepje met de superletter gevolgd door de vrije klinker kan ook op meerdere ik plaatsen (22) in een combinatie staan en de medeklinkers errond kunnen nog gepermuteerd worden. Ik zou dus zeggen dat dan de totale uitkomst 26!-(23!*5! - 5!*22*21!) is.

Je kan ook de gevallen met 4 en 5 letters uiteen houden om het misschien eenvoudiger te kunnen beredeneren. Dan kan je ook zien of dat tot dezelfde uitkomst leidt.

Stel dat x'en medeklinkers zijn en z,y en u klinkers.

Als je een mogelijke combinatie hebt die er uit ziet als
xxx...xx <zyyy>|u xxx...xxx (<....> is 1 symbool, nl de superletter)
Dan hebben al opgemerkt dat dit dezelfde combinatie is als.
xxx...xx z|<yyyu> xxx...xxx

Voor de keuze van y en u had je 5! mogelijkheden.
Je hebt in totaal 26-4+1 = 23 letters om te ordenen (je haalt er eerst 4 uit en stopt er dan de superletter bij)

Ik wil nu uitdrukken dat er steeds 5 letters naast elkaar staan, dus de vrije klinker staat steeds naast de superletter. Stel rechts ervan.

Er zijn 22 mogelijke plaatsen waar de superletter kan komen zodat er rechts nog plaats is voor de vrije klinker (de laatste positie kan het dus niet zijn).
De superletter kan maar op 1 plaats komen, rechts van de superletter.
De 21 medeklinkers kunnen verspreid worden over de 21 overige plaatsen.

Zo zijn er dus 5!*22*21! combinaties.

We kunnen ook de andere mogelijkheid nemen waar de vrije klinker links van de superletter komt te staan. Dat geeft even veel mogelijkheden.

We zitten nu op 2*5!*22*21!

In dit soort combinaties zitten wel steeds 2 dezelfde tussen. <aeio>u en a<euio>, dus we moeten terug delen door 2.

Dat geeft 5!*22*21! combinaties met 5 klinkers naast elkaar.

Als je nu nog het aantal met exact 4 (dus niet 5) klinkers kan vinden, dan ben je klaar.
Oppassen als de superletter aan het begin of eind van de combinatie staat: daar is steeds 1 'verboden plaats' voor de vrije klinker (links of rechts), terwijl er in het midden 2 'verboden plaatsen zijn' (links én rechts).

Veranderd door Xenion, 07 november 2012 - 10:19
foutje verbeterd, kom nu op hetzelfde getal als physicalattraction als de blauwe redenering gevolgd wordt


#11

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 november 2012 - 09:50

Aantal mogelijkheden met vier klinkers naast elkaar: 22! * 4! * 23. Dit is (permutaties binnen groep van 21 medeklinkers + 1 klinker) * (permutaties binnen groep van 4 klinkers) * (mogelijke posities van groep van klinkers). Dit bevat tevens alle mogelijkheden met vijf klinkers naast elkaar, en zelfs dubbel, dus deze moeten er van af getrokken worden.

Aantal mogelijkheden met vijf klinkers naast elkaar: 21! * 5! * 22. Dit is (permutaties groep van 21 medeklinkers) * (permutaties binnen groep van 4 klinkers) * (mogelijke posities van groep van klinkers).

Het gevraagde antwoord is dan inderdaad 26! - (23!*4! - 22!*5!).

#12

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 november 2012 - 10:11

Aantal mogelijkheden met vier klinkers naast elkaar: 22! * 4! * 23. Dit is (permutaties binnen groep van 21 medeklinkers + 1 klinker) * (permutaties binnen groep van 4 klinkers) * (mogelijke posities van groep van klinkers). Dit bevat tevens alle mogelijkheden met vijf klinkers naast elkaar, en zelfs dubbel, dus deze moeten er van af getrokken worden.

Je houdt hier enkel rekening met de permutaties, maar nog niet met de keuze van welke klinkers er in de superklinker zitten en welke vrij blijft. Daar komt nog een factor 5 bij.

In de rest van de redenering zie ik geen fout, ik zou dan zeggen:
26! - (23!*5! - 22!*5!)

Dat komt op hetzelfde als wat hier in het blauw beredeneerd werd.

Pff, lang geleden dat ik nog zo'n opgave gemaakt had :P

#13

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 november 2012 - 12:43

I stand corrected, ik ben het met de voorgaande conclusie eens.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures