Springen naar inhoud

Bijectie tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2012 - 15:58

"Propositie (1)

Zij (R, V, +) een vectorruimte. Een deel B ⊆ B is een basis van V als en slechts als elke v ∈ V op een unieke manier te schrijven is als een lineaire combinatie van verschillende vectoren uit B"

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Als gevolg van Propositie (1) kunnen we bijecties construeren tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn. Zij (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte, bijvoorbeeld van dimensie n en zij B = {v1, ..., vn} een basis van V Propositie (1) leerde ons dat elke vector v van V op unieke wijze te schrijven is als lineaire combinatie

v= x1.v1 + x2.v2 + ... + x1.vn.

De coëficiënten (x1, x2, ..., xn) in die lineaire combinatie noemt men de coördinaten van v t.o.v. de gekozen basis B van V. Elke vector v heeft dus een uniek stel coördinaten t.o.v. de basis B. Er ontstaat m.a.w. een bijectieve afbeelding (de coördinaatafbeelding bepaald door basis B)


coB: V -> Rn: v |-> coB(v) = (x1, ..., xn)"

Zou iemand mij hier een extra woordje uitleg over kunnen geven ? Wat bedoelen ze hier nu net allemaal mee ?
Bijectief betekent toch dat het zowel injectief als surjectief is en:

- injectief: elke y-waarde komt met exact 1 x-waarde overeen.
- surjectief: het volledige beeld word 'beschreven'.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2012 - 19:31

De schrijfwijze t.o.v de basisvectoren van een vectorruimte is uniek zoals de stelling zegt. Als je dit wilt aantonen volstaat het twee verschillende schrijfwijzen te nemen en uiteindelijk te bewijzen dat ze toch gelijk zijn.

Stel dat je een LaTeX dimensionale vectorruimte LaTeX hebt en stel LaTeX een basis voor LaTeX dan kan je dus elke vector LaTeX schrijven als een lineaire combinatie van deze basisvectoren, stel LaTeX .

Dit kan je voor elke vector in LaTeX doen (t.o.v van de basis LaTeX ), op die manier zie je dus dat je elke vector kan identificeren met zijn coordinaten t.o.v van diezelfde basis. Je kan dus een afbeelding maken, zeg LaTeX die dus elke vector met zijn coordinaten identificeert.

Deze afbeelding is een bijectie en dus zijn LaTeX en LaTeX isomorf (wat eigenlijk wilt zeggen dat ze praktisch gelijk zijn). Kan je aantonen dat dit een bijectie is door inderdaad na te gaan dat het een surjectie+injectie is? Om aan te tonen dat de afbeelding injectief is, bewijs dan LaTeX of toon aan dat de kern alleen het eenheidselement bevat.

Probeer ook eens uit te zoeken wat er nu gebeurt wanneer je een andere basis voor LaTeX neemt, op die manier krijg je andere coordinaten voor de vectoren in LaTeX . Kan je een verband vinden tussen de coordinaten van een vector t.o.v 2 verschillende basissen?

Veranderd door Siron, 05 november 2012 - 19:36


#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 februari 2013 - 13:23

Bewijs injectief:

LaTeX
Als LaTeX weten we dat
LaTeX = LaTeX

Aangezien deze combinaties beide genomen zijn t.o.v. basis B en we per definitie weten dat alle vectoren uit V als een unieke lineaire combinatie van de elementen uit B te schrijven zijn, volgt hieruit dat v = w.
Bijgevolg komt elke y-waarde overeen met precies exact één x-waarde, of m.a.w. is deze functie injectief.

Aangezien B een basis is weten we ook dat elke vector uit V te schrijven is als een unieke lineaire combinatie van elementen uit B; of m.a.w. dat 'heel V' bereikt kan worden = surjectief.

Klopt het zo een beetje ?
Ik vermoed dat ik alles niet helemaal juist verwoord heb, maar denk dat ik het idee erachter wel te pakken heb.

Ps: Mijn excuses voor de late reactie.

Veranderd door Biesmansss, 16 februari 2013 - 13:24

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures