Springen naar inhoud

Basis van een deelruimte van (R, R≥, +)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 11:42

"Beschouw de deelruimte V = {(-y, y, y) | y ∈ R}. Bepaal een basis en de dimensie."

Men kan nu op het zicht zien dat bv. (-1, 1, 1) een basis is; maar stel dat men nu een geval had waarbij men dat niet kon. Bestaat er dan een algemene methode om een basis te zoeken ?
In de eerste instantie zou ik opzoek gaan naar 'iets' waarmee men alle elementen kan bekomen van de deelruimte; maar wanneer men de dimensie niet kent, is dit niet zo triviaal ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 11:47

Je kijkt naar het aantal vrij te kiezen parameters (in dit geval maar één) en laat die waarden aannemen zodat ze "iets nieuws" geven. Voorbeeld: V = {(x, x + y, y) | x, y in R}. Dan zie je dat je 2 waarden kan kiezen: x en y. Kies nu x=1 en y=0. Dit is al 1 keuze. Nu zoek je nog een tweede. Een handige keuze is x=0 en y=1. Zie je waarom dit werkt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 11:51

Als ik mij niet vergis hebben we al iets soortgelijk een tijdje geleden besproken, kan dat ?
Waarom dit werkt ? Was dat niet omdat we er dan zeker van zijn dat de twee elementen geen veelvouden van elkaar zijn (een basis moet lineair onafhankelijk zijn) ?
Dus {(1, 0), (0,1)} is altijd een goede keuze (en waarschijnlijk meestal de eenvoudigste), maar {(1, 0), (1, 2)} kan evengoed.
Akkoord ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 11:58

Dat zou kunnen dat dat ook een topic van jou was inderdaad :). Het is inderdaad al eens aan bod gekomen alvast. Je tweede keuze zou inderdaad ook goed geweest zijn. Maar zoals je ook aangeeft: standaardbasis is meestal de eenvoudigste keuze.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 11:59

Maar dat wil dus ook zeggen dat de dimensie van de basis altijd gelijk is aan het aantal vrij te kiezen parameters; of vergis ik me ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:04

Ja :). In dit geval beschrijft je ruimte dus een rechte.

Oja, bedenk wel: in het algemeen moet je nog bewijzen dat je voorstel effectief een basis vormt. Hier is dat uiteraard triviaal. Immers: y(-1, 1, 1) = (-y, y, y).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:09

Zou je dan snel een eenvoudige oefening willen verbeteren (Heel snel te maken en eenvoudige oefening) ? :P

"Vind een basis van de deelruimte van (R, R3, +):

a) U1 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0)
b) U2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 2y)
c) U3 = {(x, y, z) ∈ R3 | -x +2y + 3z = 0)
d) U4 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0)"


a) basis b1: {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
b) basis b2: {(2, 1, 0), (0, 0 ,1)}
c) basis b3: {(2, 1, 0), (3, 0 ,1)}
d) basis b4: {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:19

Ziet er helemaal correct uit. Bij wijze van oefening: kun je bewijzen dat b3 bij c) een basis is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:28

Om te bepalen dat dit een basis is moeten we na gaan of deze zowel vrij als voortbrengend is.

1) We tonen eerst aan dat {(2, 1, 0), (3, 0 ,1)} vrij is:

Deze deelverzameling is vrij asa de enige combinatie voor A,B ∈ R waarmee we de nulvector bekomen deze is wanneer A = B = 0

A.(2, 1, 0) + B.(3, 0, 1) = 0

2A + 3B = 0
A = 0
B = 0

Hiermee is het bovenstaande bewezen!

2) Nu tonen we aan dat deze verzameling voortbrengend is.
Hiervoor moeten we aantonen dat we alle elementen van U kunnen bekomen als lineaire combinatie van de verzameling:

u =A.(2, 1, 0) + B.(3, 0, 1) (met u ∈ U)
= (2A + 3B, A, B)

Hhmmm, ik denk niet dat ik bij '2' goed bezig ben ofwel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:31

Je bent er toch? De beperking: -x + 2y + 3z = 0 is hetzelfde als zeggen x = 2y + 3z. Nu A=y en B=z doet het.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:36

Ok, dus dan hebben bovenstaande bewezen.
Omdat de verzameling aan zowel (1) als (2) voldoet betreft het dus een basis.

Bedankt voor de hulp Dries! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:14

Graag gedaan :). Succes nog!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures