Springen naar inhoud

De vectorruimte (R, Rijen, +)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 12:59

"Beschouw de vectorruimte (R, Rijen, +) van alle rijen in R. Toon aan dat er geen eindige voortbrengende delen zijn in Rijen. Wat leert je dat over dim Rijen ? Denk je dat het gemakkelijk is een basis van (R, Rijen, +) te geven ?"

We kunnen beginnen met een basis op te stellen:

b = {e1, e2, e3, e4, ..., en, en+1, ...}

e1 = (1, 0, 0, 0, ..., 0)
e2 = (0, 1, 0, 0, ..., 0)
e3 = (0, 0, 1, 0, ..., 0)
e4 = (1, 0, 0, 1, ..., 0)
...

Zit ik al op de goede weg ? Of moet ik het anders aanpakken ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:13

Begin eerst eens met het eerste: geen eindig voortbrengend deel. Lukt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:22

Goh, niet onmiddellijk. Hoe zou je dit kunnen bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:27

Uit het ongerijmde. Stel dus eens dat er een eindig voortbrengend deel is. Dan...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:33

Goh, ja dan.. ?
We weten dat dit deel dan zowel vrij als voortbrengend zou moeten zijn.
kunnen we hier iets mee ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:36

Nee, dat het vrij moet zijn, wordt nergens beweerd hè. Enkel dat het voortbrengend is. Stel dus dat V = {v1, ..., vn} voortbrengend is. Dan is er iets mis met de dimensies. Maar je moet dat wel hard maken ;).

Hint: kijk ook eens naar e1,..., en+1 met ei de standaardvectoren (een 1 op plaats i en rest 0).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:41

Ja, sorry; ik dacht even aan een basis i.p.v. een voortbrengend deel. :D
Kan je dan niet stellen dat ook de rij die bestaat uit allemaal 0'en, maar een 1 op de i'de- plaats (i = n + 2) tot de vectorruimte (R, Rijen, +) behoort maar deze niet kan gevormd worden door het gegeven voortbrengend deel.
Waardoor we een contradictie hebben ?

En aangezien er geen eindig voortbrengend deel bestaat volgt uit een bepaald propositie dat de basis dan ook niet eindig kan zijn. Aangezien het aantal elementen van een voortbrengend deel altijd kleiner of gelijk is aan het aantal elementen van een basis.

Veranderd door Biesmansss, 11 november 2012 - 14:42

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:45

Nee, je idee zit wel ongeveer juist, maar het is niet echt exact. Ik zal eens wat meer uitwerken.

Zij V = {v1, ..., vn} een voortbrengend deel en beschouw de vectoren e1 = (1, 0, 0, ...), ..., en+1 = (0, ..., 0, 1, 0, 0, ...) (let op de index: n+1 hier en n in het voortbrengend deel). Duidelijk is {e1, ..., en+1} een deel van de (oneindige) rijen van R en is het lineair onafhankelijk. Maar de dimensie van deze verzameling is ... en dat is een contradictie omdat ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:50

Aha, ja ik had het een beetje verkeerd gezien; maar mijn idee was idd wel hetzelfde.
Dit kan hier dus niet omdat de dimensie van het voorbrengend deel gelijk is aan n en de dimensie van de verzameling is gelijk aan n + 1 ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 14:52

Inderdaad. En dat dat niet kan, is triviaal?

Wat weet je nu over de dimensie van je ruimte?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 16:00

Nu kan je stellen dat die oneindig is.
Ja, intuïtief is dat triviaal, maar we hebben dit nergens bewezen; dus mogen we dit dan wel gewoon stellen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 16:14

Dat is niet zo moeilijk in te zien. Je kunt (als oefening) zeer algemeen bewijzen dat de dimensie van een deelruimte hoogstens de dimensie van de "grote" ruimte kan zijn. Je geeft maar aan of je dat eerst wilt doen of op het einde.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 16:50

Ik zou dat liever eerst doen eigenlijk. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2012 - 17:04

Prima. Enig idee hoe je daaraan moet/kunt beginnen?

Overigens, ik merk net dat je schreef dat de dimensie van het voortbrengend deel n is. Dat moet natuurlijk zijn: hoogstens n. Immers kan je teveel vectoren hebben.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2012 - 17:19

Correct. :D
Oohh, het bewijs staat blijkbaar toch in onze cursus; ik heb het net gevonden. :P
Mijn excuses.

" Propositie:

Als (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte is en U een deelruimte van V, dan is dim U ≤ dim V. Bovendien is U = V als en slechts als dim U = dim V."

Veranderd door Biesmansss, 11 november 2012 - 17:19

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures