[wiskunde] koorden van een paraboool

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 12-11-'12, 22:38

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

koorden van een paraboool

Onlangs tegengekomen in een handboek van het 5de aso, analytische meetkunde, en ik kom er niet uit...:

bewijs dat 2 (verschillende) koorden van een parabool elkaar nooit middendoor snijden.

Ik begin zo:

Parabool:
\( y=x^2\)
(ik maak het me wat makkelijk)

4 punten:
\((a,a^2)\)
en
\((b,b^2)\)
,
\((c,c^2)\)
en
\((d,d^2)\)
Middens:
\( \left( \frac{a+b}{2} , \frac{a^2+b^2}{2} \right)\)
en
\( \left( \frac{c+d}{2} , \frac{c^2+d^2}{2} \right)\)
en dan...?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 12-11-'12, 22:52

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: koorden van een paraboool

Waarom snij je de twee koorden niet?
Omhoog

Bericht 12-11-'12, 22:55

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: koorden van een paraboool

Ik kan de vgl opstellen van de rechten AB en CD en hun snijpunt berekenen (stelsel oplossen)

Dat geeft -na wat berekeningen die wat te lang zijn om hier allemaal in te tikken- als x-coordinaat:
\( \frac{ab-cd}{a+b-c-d} \)
de y-coordinaat geeft een ellenlange formule...

Maar dit alles helpt me niet echt vooruit...?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 00:10

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.596

Re: koorden van een paraboool

Zou je de afleiding van die formule voor de x coordinaat niet willen geven?

Ik zie het echt niet

Als als die 2 verschillende koorden elkaar precies middendoor snijden dan geldt voor dat snijpunt

a+b=c+d en (vergelijking A)
\(a^2+b^2 =c^2+d^2 \)
(Vergelijking B)

Als we die eerste vergelijking kwadrateren krijgen we
\(a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2 \)
2ab=2cd

a.b=c.d

De x coordinaat wordt dan nul
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 00:31

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: koorden van een paraboool

om de x-coordinaat te bepalen:

vgl rechte door
\( (a,a^2) & (b,b^2) \)
is
\( y-a^2= \frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a) \)
vgl rechte door
\( (c,c^2) & (d,d^2) \)
is
\( y-c^2= \frac{d^2-c^2}{d-c}(x-c) \)
beetje vereenvoudigen, uit de 2 vgl y halen en aan elkaar gelijkstellen geeft:
\( a^2+(b+a)(x-a)=c^2+(d+c)(x-c) \)
haakjes uitwerken, wat schrappen en dan x eruithalen geeft
\(x=\frac{ab-cd}{a+b-c-d} \)
aadkr schreef: ↑di 13 nov 2012, 00:10
Zou je de afleiding van die formule voor de x coordinaat niet willen geven?

Ik zie het echt niet

Als als die 2 verschillende koorden elkaar precies middendoor snijden dan geldt voor dat snijpunt

a+b=c+d en (vergelijking A)
\(a^2+b^2 =c^2+d^2 \)
(Vergelijking B)

Als we die eerste vergelijking kwadrateren krijgen we
\(a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2 \)
2ab=2cd

a.b=c.d

De x coordinaat wordt dan nul
aha!

Meer nog, als (a+b)=(c+d) dan is de noemer van de x-coordinaat ook = nul.

Dat zou dus willen zeggen dat als het snijpunt van de 2 koorden in het midden ervan ligt, we voor de x-coordinaat
\( \frac{0}{0} \)
krijgen...

Daarmee is dan bewezen dat de veronderstelling, waarvan we vertrokken: dat de 2 koorden elkaar middendoor snijden dus niet kan...?

Dan denk ik dat ik er zo ongeveer ben.
---WAF!---
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 00:49

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: koorden van een paraboool

Dit is niet de elegante methode.

Probeer eens de parabool te snijden met y=mx+n met n>=0

Bepaal het midden van de snijptn, wat ontdek je?
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 00:57

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: koorden van een paraboool

Safe schreef: ↑di 13 nov 2012, 00:49
Dit is niet de elegante methode.

Probeer eens de parabool te snijden met y=mx+n met n>=0

Bepaal het midden van de snijptn, wat ontdek je?
\(x=\frac{m}{2}\)
dus de x-coordinaat is recht evenredig met de helling van de snijlijn,

dus de x-coordinaten van 2 snijlijnen kunnen enkel gelijk zijn als de rechten evenwijdig zijn, maar dan hebben ze geen snijpunt...

mooi!
---WAF!---
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 09:07

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: koorden van een paraboool

Prima!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”