Springen naar inhoud

Derdegraadsvergelijking oplossen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2012 - 19:16

Ik stuit in de beschrijving van een van mijn systemen (chemie, verder niet zo heel relevant) op de volgende vergelijing:

LaTeX

Hierbij is a > 0
Deze wil ik graag oplossen naar x. Ik ben overigens op zoek naar de oplossing LaTeX

Als ik de vergelijking uitschrijf vind ik

LaTeX

Dit (of de eerstgenoemde vergelijking) kan ik domweg in Wolfram Alpha of iets vergelijkbaars inkloppen, of zelf oplossen via een algemene methode, wat op zich prima is. Maar ik vroeg me af of het in dit specifieke geval mogelijk is om dit te herschrijven, ontbinden in factoren, en zo een uitdrukking voor de wortels kan opleveren; wat ik een wat elegantere methode vind.

Ikzelf zie dit niet, maar misschien dat iemand die wel over een wiskundeknobbel beschikt hier iets over kan zeggen.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 november 2012 - 19:38

Hoe bedoel je oplossen? Je hebt a als functie van x, dus bij elke waarde van x behoort een waarde van a.
Maak eens een grafiek van die functie ...

Overigens mag x geen 1 zijn, waarom niet?

Veranderd door Safe, 13 november 2012 - 19:41


#3

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2012 - 19:53

Oplossen naar x; voor een gegeven, of bekende, waarde van a wil ik x berekenen. Als je dat liever hebt kan ik hem ook herschrijven als

LaTeX

hetgeen ik wil oplossen naar x.

x kan inderdaad niet gelijk zijn aan 1, dat was een typfout.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 november 2012 - 21:51

Voor zover mijn kennis daarover reikt:

* je kan uiteraard steeds een algemene methode volgen of wolfram/... gebruiken
* de enige eenvoudige ontbindingsmethode waarmee je wortels vindt, is de methode van Horner, dus proberen met de delers van de constante term, a. En dat lijkt me hier niets op te leveren. Maar ik kan me uiteraard ook vergissen.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 november 2012 - 22:28

* de enige eenvoudige ontbindingsmethode waarmee je wortels vindt, is de methode van Horner, dus proberen met de delers van de constante term, a. En dat lijkt me hier niets op te leveren. Maar ik kan me uiteraard ook vergissen.

Dat levert hier inderdaad niets op, maar dat is ook wel omdat we van a "zo" zeer weinig weten. De enige zekere delers zijn (op teken na) 1 en a zelf. Geen van deze 4 geeft iets. Maar in een concrete situatie weet je veel meer: je kunt namelijk de priemdelers gaan bepalen dan. Maar dat is niet wat Marko wil, denk ik (iets specifieks invullen)?

Je kunt btw steeds de methode die je een algemene formule geeft voor de wortels van een derdegraadsvergelijking toepassen. Maar of dat nuttiger is dan die algemene formule gewoon gebruiken ;)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 november 2012 - 22:52

hetgeen ik wil oplossen naar x.

x kan inderdaad niet gelijk zijn aan 1, dat was een typfout.


Is dat echt analytisch nodig?
Het is ook mogelijk via een tabel te werken als een benaderde waarde voldoende is.

#7

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2012 - 00:35

Nee, nodig is het niet. Uiteindelijk heb ik enkel de waarde van x nodig, en die kan ik dan weer ergens anders invullen en toepassen. Op zich is dat voldoende.
Maar mocht er voor dit specifieke geval een redelijk eenvoudige uitdrukking zijn die de gevraagde x geeft als functie van a, dan is dat een mooie bonus.

Wat ik in gedachten had: Stel je hebt een vergelijking

LaTeX

Dan kun je eenvoudig zien dat dit ontbonden kan worden in (x+6)(x+a)=0, waaruit de oplossingen direct volgen.
Ik vroeg me af of iets vergelijkbaars mogelijk zou zijn voor de vergelijking die ik gaf. Ik mis het wiskundig inzicht om dit direct te "zien".

Misschien ook goed om de gehele situatie te beschrijven. Ik heb de vergelijkingen:

LaTeX
LaTeX

Verder geldt het volgende verband tussen x en y:

LaTeX

En het volgende verband tussen w, x en z:
LaTeX

Mijn einddoel is een verband tussen a en b, voor het geval dat y=z

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#8

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 november 2012 - 01:29

LaTeX


1) Je kunt altijd dit proberen: http://en.wikipedia....ormula_of_roots
Het helpt dikwijls als eerste stap om te kijken of een eenvoudige uitdrukking wel zou bestaan. Als je de tijd neemt kun je hieruit de exacte oplossing afleiden. A.d.h.v. die oplossing kun je dan een elegante manier naar dezelfde oplossing 'zien'.

2) zowel x=-a en x=1 lijken me hier wel degelijk oplossingen (zoals dries al suggereerde kun je die eerste kandidaat-oplossingen eenvoudig afleiden uit de +a op het einde), al ben ik ladderzat momenteel.
LaTeX
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 november 2012 - 09:46

Neem gewoon eens de vergelijking van Marko: x³ + (a-2) x² - (2a+1)x + a = 0. Vul nu x=-1 in: (1)³ + (a-2)(1)² - (2a+1)(1) + a = 1 + (a-2) - (2a + 1) + a. En dat is toch echt niet 0? Nu x=-a: (-a)³ + (a-2)(-a)² - (2a+1)(-a) + a = -a³ + (a³ - 2a²) + (2a² + a) + a = 2a.

Je telfout zit volgens mij in je laatste gelijkheid, en heel specifiek in de term "-(2a + 1)x".

Edit: ik had mis gelezen, je had x=1 voor ogen. Aangepast.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 november 2012 - 10:06

Je telfout zit volgens mij in je laatste gelijkheid, en heel specifiek in de term "-(2a + 1)x".

Inderdaad, sorry.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#11

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2012 - 14:42

Goed gevonden :)
Helaas zijn zowel x=-a als x=1 fysisch geen relevante oplossingen. x=1 voldoet (zie het eerdere bericht van Safe) sowieso niet vanwege delen door (1-x)2
Ik merk dat ik mijn vraag meer had moeten specificeren, de randvoorwaarden zijn niet duidelijk genoeg gesteld. Excuses daarvoor.

Voor a geldt dat LaTeX
Voor x geldt LaTeX

In feite zijn zelfs enkel x-waardes LaTeX interessant.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 november 2012 - 14:50

Goed gevonden :)
Helaas zijn zowel x=-a als x=1 fysisch geen relevante oplossingen.

Heb je mijn bericht gezien? Dat zijn gewoon geen oplossingen... Of ik begrijp je verkeerd.

En heb je het met die algemene formule al eens geprobeerd? Dan zie je tenminste al of er een mooie oplossing is.

PS: voor a=0 is het eenvoudig.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 november 2012 - 19:57

Begin eens bij het begin en maak eens een schets van.

LaTeX

Dan zie je hoe de zaak verloopt.

PS: Belangrijk bij derde graads vgl. is het om te weten hoeveel reëele oplossingen er zijn.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#14

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8935 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2012 - 23:17

Heb je mijn bericht gezien? Dat zijn gewoon geen oplossingen... Of ik begrijp je verkeerd.


Nee, je begrijpt het goed. Maar ik had jullie berichten misgelezen

En heb je het met die algemene formule al eens geprobeerd? Dan zie je tenminste al of er een mooie oplossing is.


Hoe bedoel je dat precies? a, b, c en d invullen en dan uitwerken?

PS: voor a=0 is het eenvoudig.


Wel eenvoudig, maar niet zinvol (met het oog op de toepassing) ;)

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 november 2012 - 09:33

@Marko,

Is het nodig dat je een berekening toepast?
Hoe implementeer je, op dit moment, een bepaalde a om x te vinden?
Wat is het bezwaar om met een tabel te werken?

Is h, in z=h*w*x, een (bekende) constante?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures