Derdegraadsvergelijking oplossen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 13-11-'12, 19:16

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Derdegraadsvergelijking oplossen

Ik stuit in de beschrijving van een van mijn systemen (chemie, verder niet zo heel relevant) op de volgende vergelijing:
\(a=\frac {2x} {(1-x)^2} - x\)
Hierbij is a > 0

Deze wil ik graag oplossen naar x. Ik ben overigens op zoek naar de oplossing \(0 \leq x \leq 1\)

Als ik de vergelijking uitschrijf vind ik
\(x^3 + (a-2)x^2 - (2a+1)x + a =0\)
Dit (of de eerstgenoemde vergelijking) kan ik domweg in Wolfram Alpha of iets vergelijkbaars inkloppen, of zelf oplossen via een algemene methode, wat op zich prima is. Maar ik vroeg me af of het in dit specifieke geval mogelijk is om dit te herschrijven, ontbinden in factoren, en zo een uitdrukking voor de wortels kan opleveren; wat ik een wat elegantere methode vind.

Ikzelf zie dit niet, maar misschien dat iemand die wel over een wiskundeknobbel beschikt hier iets over kan zeggen.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 19:38

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Hoe bedoel je oplossen? Je hebt a als functie van x, dus bij elke waarde van x behoort een waarde van a.

Maak eens een grafiek van die functie ...

Overigens mag x geen 1 zijn, waarom niet?
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 19:53

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Oplossen naar x; voor een gegeven, of bekende, waarde van a wil ik x berekenen. Als je dat liever hebt kan ik hem ook herschrijven als
\(\frac{2x}{(1-x)^2}-x-a=0\)
hetgeen ik wil oplossen naar x.

x kan inderdaad niet gelijk zijn aan 1, dat was een typfout.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 21:51

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Voor zover mijn kennis daarover reikt:

* je kan uiteraard steeds een algemene methode volgen of wolfram/... gebruiken

* de enige eenvoudige ontbindingsmethode waarmee je wortels vindt, is de methode van Horner, dus proberen met de delers van de constante term, a. En dat lijkt me hier niets op te leveren. Maar ik kan me uiteraard ook vergissen.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 22:28

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

In physics I trust schreef: ↑di 13 nov 2012, 21:51
* de enige eenvoudige ontbindingsmethode waarmee je wortels vindt, is de methode van Horner, dus proberen met de delers van de constante term, a. En dat lijkt me hier niets op te leveren. Maar ik kan me uiteraard ook vergissen.
Dat levert hier inderdaad niets op, maar dat is ook wel omdat we van a "zo" zeer weinig weten. De enige zekere delers zijn (op teken na) 1 en a zelf. Geen van deze 4 geeft iets. Maar in een concrete situatie weet je veel meer: je kunt namelijk de priemdelers gaan bepalen dan. Maar dat is niet wat Marko wil, denk ik (iets specifieks invullen)?

Je kunt btw steeds de methode die je een algemene formule geeft voor de wortels van een derdegraadsvergelijking toepassen. Maar of dat nuttiger is dan die algemene formule gewoon gebruiken ;) ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 13-11-'12, 22:52

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Marko schreef: ↑di 13 nov 2012, 19:53
hetgeen ik wil oplossen naar x.

x kan inderdaad niet gelijk zijn aan 1, dat was een typfout.
Is dat echt analytisch nodig?

Het is ook mogelijk via een tabel te werken als een benaderde waarde voldoende is.
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 00:35

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Nee, nodig is het niet. Uiteindelijk heb ik enkel de waarde van x nodig, en die kan ik dan weer ergens anders invullen en toepassen. Op zich is dat voldoende.

Maar mocht er voor dit specifieke geval een redelijk eenvoudige uitdrukking zijn die de gevraagde x geeft als functie van a, dan is dat een mooie bonus.

Wat ik in gedachten had: Stel je hebt een vergelijking
\(x^2 + (6+a)x + 6a = 0\)
Dan kun je eenvoudig zien dat dit ontbonden kan worden in (x+6)(x+a)=0, waaruit de oplossingen direct volgen.

Ik vroeg me af of iets vergelijkbaars mogelijk zou zijn voor de vergelijking die ik gaf. Ik mis het wiskundig inzicht om dit direct te "zien".

Misschien ook goed om de gehele situatie te beschrijven. Ik heb de vergelijkingen:
\(a=x+y+z\)
\(b=w+z\)
Verder geldt het volgende verband tussen x en y:
\(x+y=\frac x {(1-x)^2}\)
En het volgende verband tussen w, x en z:
\(z=h*w*x\)
Mijn einddoel is een verband tussen a en b, voor het geval dat y=z
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 01:29

317070

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Marko schreef: ↑di 13 nov 2012, 19:16
\(x^3 + (a-2)x^2 - (2a+1)x + a =0\)
1) Je kunt altijd dit proberen: http://en.wikipedia....ormula_of_roots

Het helpt dikwijls als eerste stap om te kijken of een eenvoudige uitdrukking wel zou bestaan. Als je de tijd neemt kun je hieruit de exacte oplossing afleiden. A.d.h.v. die oplossing kun je dan een elegante manier naar dezelfde oplossing 'zien'.

2) zowel x=-a en x=1 lijken me hier wel degelijk oplossingen (zoals dries al suggereerde kun je die eerste kandidaat-oplossingen eenvoudig afleiden uit de +a op het einde), al ben ik ladderzat momenteel.
\((x+a)(x-1)(x-1)=(x+a)(x^2-2x+1) = x^3 + (a-2)x^2 - (2a+1)x + a =0\)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 09:46

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Neem gewoon eens de vergelijking van Marko: x³ + (a-2) x² - (2a+1)x + a = 0. Vul nu x=-1 in: (1)³ + (a-2)(1)² - (2a+1)(1) + a = 1 + (a-2) - (2a + 1) + a. En dat is toch echt niet 0? Nu x=-a: (-a)³ + (a-2)(-a)² - (2a+1)(-a) + a = -a³ + (a³ - 2a²) + (2a² + a) + a = 2a.

Je telfout zit volgens mij in je laatste gelijkheid, en heel specifiek in de term "-(2a + 1)x".

Edit: ik had mis gelezen, je had x=1 voor ogen. Aangepast.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 10:06

317070

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Je telfout zit volgens mij in je laatste gelijkheid, en heel specifiek in de term "-(2a + 1)x".
Inderdaad, sorry.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 14:42

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Goed gevonden :)

Helaas zijn zowel x=-a als x=1 fysisch geen relevante oplossingen. x=1 voldoet (zie het eerdere bericht van Safe) sowieso niet vanwege delen door (1-x)2

Ik merk dat ik mijn vraag meer had moeten specificeren, de randvoorwaarden zijn niet duidelijk genoeg gesteld. Excuses daarvoor.

Voor a geldt dat \(a \geq 0\)

Voor x geldt \( 0 \leq x < 1\)

In feite zijn zelfs enkel x-waardes \(1-\frac {\sqrt 2}2 \leq x < 1\) interessant.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 14:50

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Marko schreef: ↑wo 14 nov 2012, 14:42
Goed gevonden :)

Helaas zijn zowel x=-a als x=1 fysisch geen relevante oplossingen.
Heb je mijn bericht gezien? Dat zijn gewoon geen oplossingen... Of ik begrijp je verkeerd.

En heb je het met die algemene formule al eens geprobeerd? Dan zie je tenminste al of er een mooie oplossing is.

PS: voor a=0 is het eenvoudig.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 19:57

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Begin eens bij het begin en maak eens een schets van.
\(f(x) = \frac {2x} {(1-x)^2} - x \)
Dan zie je hoe de zaak verloopt.

PS: Belangrijk bij derde graads vgl. is het om te weten hoeveel reëele oplossingen er zijn.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 14-11-'12, 23:17

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

Drieske schreef: ↑wo 14 nov 2012, 14:50
Heb je mijn bericht gezien? Dat zijn gewoon geen oplossingen... Of ik begrijp je verkeerd.
Nee, je begrijpt het goed. Maar ik had jullie berichten misgelezen



En heb je het met die algemene formule al eens geprobeerd? Dan zie je tenminste al of er een mooie oplossing is.
Hoe bedoel je dat precies? a, b, c en d invullen en dan uitwerken?
PS: voor a=0 is het eenvoudig.
Wel eenvoudig, maar niet zinvol (met het oog op de toepassing) ;)
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 15-11-'12, 09:33

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Derdegraadsvergelijking oplossen

@Marko,

Is het nodig dat je een berekening toepast?

Hoe implementeer je, op dit moment, een bepaalde a om x te vinden?

Wat is het bezwaar om met een tabel te werken?

Is h, in z=h*w*x, een (bekende) constante?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”