[wiskunde] Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Ik probeer om het oppervlak van een cirkel te berekenen met behulp van een dubbelintegraal met vierkanteoppervlak elementen dA=dx.dy

Maar ik kom er niet uit

sorry, dat natuurkunde moet natuurlijk zijn wiskunde

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

ken je de grenzen al waar je over gaat integreren?
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Als ik eerst in de x richting integreer en daarna in de y richting dan zou voor de x richting moeten gelden een ondergrens van
\(x=-\sqrt{R^2-y^2} \)
en als bovengrens
\(x=+\sqrt{R^2-y2} \)
Voor de y richting zou dan gelden ondergrens y=-R en bovengrens y=+R

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

je kan best ook wat symmetrie gebruiken (bijvoorbeeld alleen het eerste kwadrant)

Maar anders is het een kwestie van achtereenvolgens naar x en y te integreren (door integratie van de 1-functie)
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Als ik het goed begrijp dan zou de volgende integraal eruit moeten komen
\(A=\int_{y=-R}^{y=+R} dy \cdot \int_{x=-\sqrt{R^2-y^2}}^{x=+\sqrt{R^2-y^2}} dx \)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

ja, en nu uitwerken. (waarbij in stap 1 y gewoon een parameter is)
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

\(A=2 \int_{y=-R}^{y=+R} \sqrt{R^2-y^2} \cdot dy \)
Is dit goed?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

jep, en nu hou je een "gewone" integraal met één veranderlijke over
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Ik geloof nu een helder moment heb

Mag ik nu de substitutie toepassen
\(y=R \cdot \cos \varphi \)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Als ik de substitutie toepast krijg ik de volgende integraal
\(A=-2R^2 \int_{-\pi}^{0} \sin^2 \varphi \cdot d\varphi \)
Als ik dit uitreken kom ik op
\(A=-\pi \cdot R^2 \)
Wat doe ik fout?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Er zijn 2 oplossingen voor je probleem, lijkt me. Het eerste: doe eens de substitutie y = r sin(phi) ipv y = r cos(phi).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Beste Drieske, bedankt dat je reageert op mijn topic

Het is nu een beetje laat, maar morgenavond zal ik je raad volgen en de substitutie
\(y=R \cdot \sin \varphi \)
toepassen

Als nog mijn hartelijke dank dat je mij wilt helpen.

Hoogachtend, Aad

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Voor zulke problemen grijp je best meteen naar poolcoördinaten. (Waar je na al die substituties ook uiteindelijk op terecht komt.)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

Waarschijnlijk bedoel je dit
\(A=\int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} \frac{1}{2} \cdot d\theta \cdot R^2 \)

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Berekenen oppervlak cirkel met vierkante oppervlakelementen dA=dx.dy

aadkr schreef: di 13 nov 2012, 21:51
Als ik de substitutie toepast krijg ik de volgende integraal
\(A=-2R^2 \int_{-\pi}^{0} \sin^2 \varphi \cdot d\varphi \)
Als ik dit uitreken kom ik op
\(A=-\pi \cdot R^2 \)
Wat doe ik fout?
Aad,

heb ooit ook zo eens een probleempje gehad. Ik denk dat het komt doordat 1 van je grenzen een negatieve hoek is. Als je normaal gezien een sinus uitrekent, kom je nooit op een negatieve hoek. Dus volgens mij moet je die -pi voorstellen als een positieve hoek (pi dus in dat geval).

Heeft dacht ik iets te maken met het domein of het beeld van de sinus-functie. In elk geval, als je die -pi vervangt door pi, klopt de berekening.

grtz

Danny
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

Reageer