[wiskunde] Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 15-11-'12, 17:09

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

"Beschouw de lineaire afbeelding

f: R³ -> R³: (x, y, z) |-> (-3x - 2y + 2z, -13x - 5y + 7z, -17x - 8y + 10z)

Schrijf de matrix van f t.o.v. de standaardbasis in R³. Vind ook matrix van f t.o.v. de basis {(1, -1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 1)}."

De matrix van f t.o.v. de standaardbasis is vrij triviaal, we krijgen dan:

A =
\( \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \\ -13 & -5 & -8 \\ -17 & -8 & 10 \end{pmatrix} \)
(de uitwerking laat ik achterwege).

Maar hoe doet met dit t.o.v. de basis {(1, -1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 1)} ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 15-11-'12, 17:30

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Zou je je standaardbasis met een matrix kunnen "vermenigvuldigen" om deze basis te bekomen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 15-11-'12, 18:42

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Volgens mij wel ja, waarom ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 15-11-'12, 19:08

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Kun je die eens geven? En zou het omgekeerde ook lukken? Dus een element dat je matrix opstellen om van je "niet-standaard" basis over te gaan naar je standaardbasis?

Probeer je nu eens het wat voor te stellen: je kent de matrix van je transformatie tov je standaardbasis. Je kent de matrices om van de ene naar de andere basis te gaan. Dus...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-11-'12, 12:40

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Dus we willen de standaardbasis met een matrix vermenigvuldigen om de andere basis te bekomen.


\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} (1, 0, 0) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1, -1, 1) \\ (1, 2, 3) \\ (0, 1, 1) \end{pmatrix} \)
Ja, ik veronderstel dat het omgekeerde dan ook wel zou lukken met de inverse matrix; bedoel je dat ?

Wel, Ik ken de matrix van je transformatie t.o.v. de standaardbasis en ik ken de matrix om van de ene basis naar de andere te gaan; kan ik dan d.m.v. deze te vermenigvuldigen de juiste transformatie bekomen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-11-'12, 17:30

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Wat denk je zelf? Druk het wat schematisch uit. B is de matrix van je basisverandering (dus van standaardbasis naar de andere basis overgaan). A is de matrix van je (lineaire) afbeelding tov de standaardbasis. Je wilt nu C: de matrix van je afbeelding tov de andere basis. Hoe kun je dat bekomen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-11-'12, 20:32

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Ik zou zeggen B.A; maar dat klopt dus niet ?

Hoe moet ik het ook juist bekijken ? Als je een andere basis neemt krijg je een andere matrix ?

Maar dan kom je toch ook een andere waarde uit voor de punten die je invoert ? Moet je daarvan altijd de coördinaten van pakken t.o.v. de (gebruikte) basis ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-11-'12, 20:44

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Bekijk het gewoon als functies. B.A betekent dus dat je op een vector eerst A toepast en dan B. Is dat wat je wilt doen? Daarna zal ik op de rest terugkomen (indien nodig).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 20-11-'12, 14:01

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Ik zie het niet onmiddellijk; moet ik niet eerst weten hoe zo'n lineaire afbeelding m.b.v. een matrix nu net in elkaar zit voor ik dit juist kan inzien ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 20-11-'12, 16:33

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Niet per se om te weten wat je hoe moet toepassen... Je wilt een vector v als invoer geven. Deze invoer moet je uitdrukken ten opzichte van je (niet-standaard) basis en de uitvoer moet een vector w zijn, ook tov deze basis. Dus het "plan" is: transformeer je vector naar de standaardbasis, pas dan je transformatie (tov de standaardbasis) toe en zet dan terug om naar de niet-standaardbasis. Als je dat nu in matrices uitdrukt, wat krijg je dan?

Je hebt het meeste al hoor. Het is voornamelijk samenvoegen. Hoe je omzet van standaardbasis naar niet-standaard (en vice versa) heb je al en ook je transformatie heb je.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 18-02-'13, 14:33

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Goh Dries, ik zit er toch nog altijd mee vast.

Zou je nog eens willen proberen om het uit te leggen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 20-02-'13, 10:10

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Welja, zonder even in te gaan op welke matrices je precies nodig hebt etc. Begrijp je het idee?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-02-'13, 11:10

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Ha, ja.

Ondertussen snap ik het!

Toch bedankt voor de hulp Dries. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 22-02-'13, 11:24

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Geen probleem. Kun je dan de matrices geven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 23-02-'13, 10:41

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Lineaire afbeelding: matrix t.o.v. (standaard)basis

Ja, t.o.v. de basis {(1, -1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 1)} krijgen we (ik laat de uitwerking achterwege):
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”