[wiskunde] Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Shadow

Hallo,

f_p(x)= -2x + ln(e^x - p) met p>0

a. Voor welke p heeft f_p een positieve extreme waarde?

b. Voor welke p snijft f_p de x-as in twee punten waarvan afstand ln3 is?

a. Deze lukte me wel. Mijn antwoord luidt 0 < p < 1/4

b. Hier kom ik niet uit.

Mijn beginnetje:

-2x + ln(e^x -p)= 0

2x=ln(e^x - p)

e^(2x)= e^x -p

(e^x)² - e^x +p = 0

(e^x + ...?)(e^x + ...?) = 0

Zo kwam ik dus niet verder...

Ik dacht er ook aan om de x vrij te schrijven, maar dat was (voor mij) niet te doen door die ln.

Hoe pak ik dit aan?

Drieske

Je weet dat je punten x₁ en x₂ zoekt zodat f_p(x₁) = f_p(x₂) = 0 en je weet ook dat x₂ - x₁ = ln(3) als je eist dat x₂ > x₁ (dit mag je eisen omdat een van de twee de grootste moet zijn). Helpt dit?

Shadow

Zoiets had ik inderdaad ook in gedachte, maar hoe moet je al die eisen verwerken?

x₁= x

x₂= x + ln3

\(-2x + ln(e^x - p)= -2(x+ln3) + ln(e^{x+ln3}-p)\)

Is dit dan het begin?

Er lijken zo veel opties mogelijk...

Drieske

Wat dacht je van dit: -2x + ln(e^x - p) = 0. Dus (na overbrengen van 2x en toepassen van exponentiële) e^x - p = e^2x. Stel je nu dat e^x = y, heb je een eenvoudige tweedegraadsfunctie om op te lossen.

Shadow

Ja klopt, maar ik begrijp niet hoe je in factoren kunt ontbinden?

y² - y + p = 0

(y + ...)(y - ...)

a+b = -1

a*b= p

wacht even...

b= -1 - a

a(-1 - a)= 1

-a - a^2 = 1

a^2 + a + 1 = 0

Doe ik nu iets heel raars of...? xD

Drieske

Ken je de discriminant niet?

Westy

Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:10
Ja klopt, maar ik begrijp niet hoe je in factoren kunt ontbinden?

y² - y + p = 0

(y + ...)(y - ...)

a+b = -1

a*b= p

vergeet ook niet dat b-a = ln3

Safe

Je doet het goed. Noem de twee waarden a en b, dus:

\((e^x-a)(e^x-b)=0\)

wat geldt dan voor a+b en ab?

Bovendien moet gelden de eis: |x_1-x_2|=ln(3), wat zijn x_1 en x_2?

Shadow

@ Drieske

Dan kom ik uit op:

D= 1 - 4p

\(e^x = \frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee e^x = \frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)

\( x= ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee x= ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)

En nu moet gelden x2 = x1 + ln3

dus

\(ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2} = ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} - ln3 \)

Zoiets...?

@ Westy/Safe

e^2x - e^x + p = 0

Afbeelding

Ik werk liever met +:

\( (e^x + a)(e^x + b) = 0\)

a*b= p

a+b= -1

\( e^x = -a \vee e^x = -b\)

\( e^x = -a \vee e^{x-ln3} = -b\)

\( x= ln-a \vee x - ln3 = ln-b\)

Nu lijkt alles nog onoplosbaarder, omdat ik 4 onbekenden heb?!

Ik zie trouwens niet waarom b-a = ln3 , want die b en a zitten toch niet samen met de x zegmaar...

Westy

Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
@ Drieske

Dan kom ik uit op:

D= 1 - 4p

\(e^x = \frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee e^x = \frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)

\( x= ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee x= ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)
En nu moet gelden x2 = x1 + ln3

dus

\(ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2} = ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} - ln3 \)
Zoiets...?

Je bent er bijna: schrijf de vgl in de vorm ln(...) - ln(...) = ln(3)

en pas dan de eigenschap van de logaritmes toe: lnA-lnB=ln(A/B) , die moet je toch kennen?

dan alles vereenvoudigen en p eruithalen... (ik kom voor p, als ik goed reken 3/16 uit)

Westy

Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
@ Westy/Safe

e^2x - e^x + p = 0

Ik werk liever met +:

\( (e^x + a)(e^x + b) = 0\)
a*b= p

a+b= -1

\( e^x = -a \vee e^x = -b\)

\( e^x = -a \vee e^{x-ln3} = -b\)

\( x= ln-a \vee x - ln3 = ln-b\)
Nu lijkt alles nog onoplosbaarder, omdat ik 4 onbekenden heb?!

Dit was gewoon een andere werkwijze met de som-productregel om hetzelfde uit te rekenen, zoals in de vorige post uitgelegd (met de abc-formule / discriminant) , maar uiteindelijk geeft het hetzelfde antwoord...

Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
Ik zie trouwens niet waarom b-a = ln3 , want die b en a zitten toch niet samen met de x zegmaar...

sorry, wat kort door de bocht, moest zijn:

ln(b)-ln(a)=ln(3)

Shadow

Ja, ik kom ook op 3/16 uit!

De manier met de som-product regel snap ik nog steeds niet helemaal, maar als ik het met de discriminant kan, dan is dat op zich wel voldoende voor nu... xD

Ik ben blij dat ik het nu snap! Bedankt allemaal.

Safe

Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
@Safe

e^2x - e^x + p = 0

Ik hoop dat je inziet, dat dit eenvoudiger is.

Drieske

Safe schreef: ↑za 17 nov 2012, 20:04
Ik hoop dat je inziet, dat dit eenvoudiger is.

Waarom zou dat eenvoudiger moeten zijn dan een discriminant? Gewoon een kwestie van voorkeur en allemaal equivalent qua werkwijze.

@Shadow: succes nog!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?

Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?